Question

在平面直角坐標系中，已知A（1，-2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），若四邊形PABN的周長最小，則a=

 

．

Answer 1

考點：兩點間的距離公式

專題：直線與圓

分析：根據(jù)兩點之間的距離公式，列出四邊形PABN的周長關(guān)于a的表達式，得到x軸上的點（a，0）與（1，3）和（3，1）距離之和最小時，四邊形PABN的周長也最�。�利用對稱思想結(jié)合直線方程的求法，可得a=

5

2

值時，四邊形PABN的周長最小．

解答： 解：四邊形PABN的周長為
C=|PA|+|AB|+|BN|+|NP|=

(a-1)2+(1+2)2

+

(a-3)2+(1-0)2

+

13

+1=

(a-3)2+(0-1)2

+

(a-1)2+(0-3)2

+

13

+1
要求四邊形周長的最小值只要求出

(a-3)2+(0-1)2

+

(a-1)2+(0-3)2

的最小值即可．
它表示x軸上的點（a，0）與（1，3）和（3，1）距離之和，只需該距離之和最小即可．可以利用對稱思想最小值為E（1，-3）與F（3，1）兩點間的距離，
進一步利用E（1，-3）與F（3，1）求出直線EF的方程y=2x-5，
當y=0時解得x=

5

2

即：a=

5

2

時四邊形PABN的周長最�。�
故答案為：a=

5

2

．

點評：本題考查的知識要點：兩點間的距離公式，點的對稱問題，直線的方程及相關(guān)的恒等變形問題．