Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，其中|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow$|=2，且（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{a}$，則向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$的夾角是$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 利用向量垂直的數(shù)量積為0列出方程；利用向量的平方等于向量模的平方及向量的數(shù)量積公式將方程用模與夾角表示求出夾角．

解答 解：設(shè)兩個向量的夾角為θ，
∵|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow$|=2，且（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{a}$，
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$=|$\overrightarrow{a}$|²-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|²-|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cosθ=3-2$\sqrt{3}$cosθ=0，
解得cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0≤θ≤π，
∴θ=$\frac{π}{6}$，
故答案為：$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查向量垂直的充要條件、考查向量模的平方等于向量的平方、考查向量的數(shù)量積公式．