Question

4．設(shè)F₁，F(xiàn)₂為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，以F₁為圓心作圓F₂，已知圓F₂經(jīng)過(guò)橢圓的中心，且與橢圓相交于M點(diǎn)，若直線MF₁恰與圓F₂相切，則該橢圓的離心率e為$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 由題意圓F₂的半徑為c，∠F₁MF₂是直角，在直角三角形F₁MF₂中有（2a-c）²+c²=4c²，由此能求出該橢圓的離心率．

解答 解：∵F₁，F(xiàn)₂為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，以F₁為圓心作圓F₂，圓F₂經(jīng)過(guò)橢圓的中心，且與橢圓相交于M點(diǎn)，
∴圓F₂的半徑為c，又直線MF₁恰與圓F₂相切，∴∠F₁MF₂是直角，
∵|F1F2|=2c，|MF₂|=c，|F₁M|=2a-c，
∴在直角三角形F₁MF₂中有（2a-c）²+c²=4c²，
整理，得e²+2e-2=0，
∴e=$\sqrt{3}$-1或e=-1-$\sqrt{3}$（舍），
∴該橢圓的離心率e為$\sqrt{3}-1$．
故答案為：$\sqrt{3}-1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．