Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+x在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，3）上既有極大值又有極小值，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （2，+∞）
• B． [2，+∞）
• C． （2，$\frac{5}{2}$）
• D． （2，$\frac{10}{3}$）

Answer 1

分析 求導(dǎo)，由題意可知：f′（x）=0在（-2，2）內(nèi)應(yīng)有兩個不同實數(shù)根．根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+x，求導(dǎo)f′（x）=x²-ax+1，
由f（x）在（$\frac{1}{2}$，3）上既有極大值又有極小值，則f′（x）=0在（$\frac{1}{2}$，3）內(nèi)應(yīng)有兩個不同實數(shù)根．
$\left\{\begin{array}{l}{f′（\frac{1}{2}）＞0}\\{f′（3）＞0}\\{\frac{1}{2}＜\frac{1}{a}＜3}\\{f′（\frac{1}{a}）＜0}\end{array}\right.$，解得：2＜a＜$\frac{5}{2}$，
實數(shù)a的取值范圍（2，$\frac{5}{2}$），
故選C．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)極值的判斷，二次函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．