Question

已知函數(shù)f(x)=

px2+2

x-q

，對(duì)定義域中的所有x都滿(mǎn)足f（x）+f（-x）=0，f（2）=5
（1）求實(shí)數(shù)p，q的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

分析：（1）利用條件f（x）+f（-x）=0和f（2）=5建立方程，即可求實(shí)數(shù)p，q的值；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=

px2+2

x-q

，對(duì)定義域中的所有x都滿(mǎn)足f（x）+f（-x）=0，f（2）=5，
∴f（2）=

4p+2

2-q

=5，
即4p+2=10-5q，
∴4p+5q=8，
由f（x）+f（-x）=0得

px2+2

x-q

=-

px2+2

-x-q

=

px2+2

x+q

，
∴-q=q，解得q=0，
∴p=2．
（2）∵p=2，q=0，
∴函數(shù)f(x)=

px2+2

x-q

=

2x2+2

x

=2x+

2

x

，
f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)遞增．
證明：設(shè)x₂＞x₁≥1，
則f（x₂）-f（x₁）=2(x2-x1)+

2(x1-x2)

x1x2

=2(x2-x1)•

x1x2-1

x1x2

，
∵x₂＞x₁≥1，
∴x₂-x₁＞0，x₂x₁＞1，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
∴函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，利用函數(shù)單調(diào)性的定義是證明函數(shù)單調(diào)性的基本方法．