已知函數(shù)f(x)=x+
tx
(x>0)
,過點P(1,0)作曲線y=f(x)的兩條切線PM,PN,切點分別為M,N.
(1)當(dāng)t=2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)設(shè)|MN|=g(t),試求函數(shù)g(t)的表達(dá)式.
分析:(1)當(dāng)t=2時,f(x)=x+
2
x
,對函數(shù)求導(dǎo),結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間
(2)設(shè)M、N兩點的橫坐標(biāo)分別為x1、x2,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線MP的方程,由過(1,0)可,代入可得x1,x2滿足x2+2tx-t=0.由方程的思想可得
x1+x2=-2t
x1x2 =-t
,代入|MN|=
(x1-x2)2+(x1+
t
x1
-x2-
t
x2
)
2
=
(x1-x2)2[1+(1-
t
x1x2
)
2
]
[(x1+x2)2-4x1x2][1+(1-
t
x1x2
)
2
]
可求
解答:解:(1)當(dāng)t=2時,f(x)=x+
2
x
,--------(2分)
f′(x)=1-
2
x2
=
x2-2
x2
>0

解得x>
2
x<-
2
--------(4分)
則函數(shù)f(x)有單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-
2
),(
2
,+∞)
--------(5分)
(2)設(shè)M、N兩點的橫坐標(biāo)分別為x1、x2,
f(x)=1-
t
x2

∴切線MP的方程為y-(x1+
t
x1
)= (1-
t
x12
)(x-x1)

0-(x1+
t
x1
)=(1-
t
x12
)(1-x1)
…(8分)
同理,由切線PN也過點(1,0),得x22+2tx2-t=0.
由(1)、(2),可得x1,x2是方程x2+2tx-t=0的兩根,
x1+x2 =-2t
x1x2=-t
(*)
|MN|=
(x1-x2)2+(x1+
t
x1
-x2-
t
x2
)
2
=
(x1-x2)2[1+(1-
t
x1x2
)
2
]
[(x1+x2)2-4x1x2][1+(1-
t
x1x2
)
2
]

把(*)式代入,得|MN|=
20t2+20t

因此,函數(shù)g(t)=
20(t2+t)
(t>0)
--------------(15分)
點評:本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,及導(dǎo)數(shù)的幾何意義:導(dǎo)數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)值即為改點的切線的斜率的應(yīng)用.
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(1)求m的值,并確定f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1),是否存在實數(shù)a,使g(x)在區(qū)間[2,3]上的最大值為2,若存在,請求出a的值,若不存在,請說明理由.

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(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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已知函數(shù)f(x)、g(x),下列說法正確的是( )
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B.f(x)是偶函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)是偶函數(shù)
C.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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