Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，a₃=3，a₇=7，其通項(xiàng)公式為a_n，前n項(xiàng)和為S_n；
（1）求a_n與S_n
（2）若b_n=2^a_n，試求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）若k_n=

1

Sn

，試求數(shù)列{k_n}的前n項(xiàng)和Q_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出a_n與S_n．
（2）由b_n=2^a_n=2ⁿ，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．
（3）由k_n=

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{k_n}的前n項(xiàng)和Q_n．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a₁，公差為d，
∵等差數(shù)列{a_n}中，a₃=3，a₇=7，
∴

a1+2d=3 a1+6d=7

，
解得a₁=1，d=1，…（4分）
∴a_n=1+（n-1）×1=n，…（5分）
S_n=n×1+

n(n-1)

2

×1=

n(n+1)

2

．…（6分）
（2）由（1）可知b_n=2^a_n=2ⁿ，…（7分）
∵數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列…（8分）
∴T_n=

b1(1-qn)

1-q

=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2．…（10分）
（3）由（1）可知k_n=

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），…（11分）
∴Q_n=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=2（1-

1

n+1

）…（13分）
=

2n

n+1

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．