Question

（本小題滿分13分）已知函數(shù)，．

（Ⅰ）若，對于任意的，求證：；

（Ⅱ）若函數(shù)在其定義域內不是單調函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析; （Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ） 當時，，對函數(shù)進行求導，求出函數(shù)的單調區(qū)間，即可求出函數(shù)的最小值，又由于，，即可得到結論；（Ⅱ）由，設．令，即，設函數(shù)．求出的解為．然后再利用導數(shù) 求出函數(shù)的單調區(qū)間和函數(shù)的極值，即可求出結果．

試題解析：【解析】
(Ⅰ) 當時，，．

令，解得．

當時，，所以函數(shù)在是減函數(shù)；

當時，，所以函數(shù)在為增函數(shù)．

所以函數(shù)在處取得最小值，．

因為，，所以對任意，都有．

即對任意，． 6分

（Ⅱ）函數(shù)的定義域為．

又,設．

令，即，設函數(shù)．

令，則．

當時，，所以在上是減函數(shù)；

當時，，所以在上是增函數(shù)；

所以．則時，．

于是，當時，直線與函數(shù)的圖象有公共點，

即函數(shù)至少有一個零點，也就是方程至少有一個實數(shù)根．

當時，有且只有一個零點，

所以恒成立，函數(shù)為單調增函數(shù)，不合題意，舍去．

即當時，函數(shù)不是單調增函數(shù)．

又因為不恒成立，

所以為所求． 13分．

考點： 1．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．2．導數(shù)在證明不等式中的應用．