Question

10．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{a}$|≥1，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2，（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$）=3，則|$\overrightarrow{c}$|的取值范圍是[1，3]．

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2，可得$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，可設(shè)$\overrightarrow{a}$=（m，0），$\overrightarrow$=（0，n），由條件可得m²+n²=4，設(shè)$\overrightarrow{c}$=（x，y），由條件（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$）=3，可得（x-m）x+（y-n）y=3，即有x²+y²-mx-ny-3=0，求得圓心和半徑，再由圓的最值的求法，即可得到所求范圍．

解答 解：由|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2，
由向量的平行四邊形法則，可得$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，
可設(shè)$\overrightarrow{a}$=（m，0），$\overrightarrow$=（0，n），
即有m²+n²=4，
設(shè)$\overrightarrow{c}$=（x，y），由（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$）=3，
可得（x-m）x+（y-n）y=3，
即有x²+y²-mx-ny-3=0，
表示圓心C（$\frac{m}{2}$，$\frac{n}{2}$），半徑為$\sqrt{3+\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{4}}$=2的圓，
則|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$表示原點和圓上的點的距離，
即有最小值為2-$\sqrt{\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{4}}$=1；
最大值為2+$\sqrt{\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{4}}$=3．
故所求取值范圍是[1，3]，
故答案為：[1，3]．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標表示，考查坐標法的運用，圓的方程的運用，兩點的距離的運用，屬于中檔題．