Question

1．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），其左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，焦距為4，雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，C₁，C₂的離心率互為倒數(shù)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過F₂作直線交拋物線y²=2x于A，B兩點(diǎn)，射線OA，OB分別交橢圓C₁于點(diǎn)D，E．證明：$\frac{|OD||OE|}{|DE|}$為定值．

Answer 1

分析 （1）由雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，可得離心率e₂=$\sqrt{1+\frac{2}{4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．于是橢圓的離心率$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，又2c=4，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可．
（2）設(shè)直線AB的方程為：my=x-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與拋物線方程聯(lián)立化為y²-2my-4=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系與斜率計(jì)算公式可得：k_OA•k_OB=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-1．因此OA⊥OB．設(shè)直線OA的方程為：y=kx，則直線OB的方程為：y=-$\frac{1}{k}$x．分別與橢圓方程聯(lián)立解得D，E的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式及其勾股定理可得|OD|²，|OE|²．|DE|²=|OD|²+|OE|²，即可證明$\frac{|OD{|}^{2}|OE{|}^{2}}{|DE{|}^{2}}$=$\frac{3}{2}$．

解答 （1）解：由雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，可得離心率e₂=$\sqrt{1+\frac{2}{4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴橢圓的離心率$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
又2c=4，a²=b²+c²，
解得c=2，a=$\sqrt{6}$，b=$\sqrt{2}$．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）證明：設(shè)直線AB的方程為：my=x-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-2}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，化為y²-2my-4=0，
∴y₁+y₂=2m，y₁y₂=-4．
∴k_OA•k_OB=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{（m{y}_{1}+2）（m{y}_{2}+2）}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+2m（{y}_{1}+{y}_{2}）+4}$=$\frac{-4}{-4{m}^{2}+4{m}^{2}+4}$=-1．
∴OA⊥OB．
設(shè)直線OA的方程為：y=kx，則直線OB的方程為：y=-$\frac{1}{k}$x．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=6}\end{array}\right.$，解得${x}_{D}^{2}$=$\frac{6}{1+3{k}^{2}}$，${y}_{D}^{2}$=$\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，∴|OD|²=$\frac{6（1+{k}^{2}）}{1+3{k}^{2}}$．
同理可得：${x}_{E}^{2}$=$\frac{6{k}^{2}}{3+{k}^{2}}$，${y}_{E}^{2}$=$\frac{6}{3+{k}^{2}}$，∴|OE|²=$\frac{6（1+{k}^{2}）}{3+{k}^{2}}$．
∴|DE|²=|OD|²+|OE|²=$\frac{6（1+{k}^{2}）}{1+3{k}^{2}}$+$\frac{6（1+{k}^{2}）}{3+{k}^{2}}$．
∴$\frac{|OD{|}^{2}|OE{|}^{2}}{|DE{|}^{2}}$=$\frac{6（1+{k}^{2}）}{4（1+{k}^{2}）}$=$\frac{3}{2}$．
∴$\frac{|OD||OE|}{|DE|}$為定值$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓及其拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、兩點(diǎn)之間的距離公式、勾股定理、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．