分析 (Ⅰ)由拋物線方程求出拋物線的焦點坐標(biāo),可得橢圓的半焦距,結(jié)合離心率求得a,再由隱含條件求得b,則橢圓方程可求;
(Ⅱ)聯(lián)立直線方程和橢圓方程,化為關(guān)于x的一元二次方程,由判別式等于0得到k與m的關(guān)系,求得N,M的坐標(biāo),分別取k,m的兩組值,求出以NM為直徑的圓所過定點,證明普遍性得答案.
解答 解:(Ⅰ)由拋物線y2=4x,得拋物線焦點坐標(biāo)為(1,0),
∴橢圓焦點在x軸上,且c=1,又e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$,∴a=2.
∴b2=a2-c2=3.
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$;
(Ⅱ)由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$,消元可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.
∵動直線l:y=kx+m與橢圓C有且只有一個公共點N(x0,y0)
∴m≠0,△=0,∴(8km)2-4×(4k2+3)×(4m2-12)=0.
即4k2-m2+3=0,①
此時x0=-$\frac{4km}{4{k}^{2}+3}$=-$\frac{4k}{m}$,y0=$\frac{3}{m}$,即N(-$\frac{4k}{m}$,$\frac{3}{m}$),
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{x=4}\end{array}\right.$,得M(4,4k+m),
取k=0,m=$\sqrt{3}$,此時N(0,$\sqrt{3}$),M(4,$\sqrt{3}$),以NM為直徑的圓為(x-2)2+(y-$\sqrt{3}$)2=4,交x軸于點P1(1,0)或P2(3,0).
取k=-$\frac{1}{2}$,m=2,此時N(1,$\frac{3}{2}$),M(4,0),以NM為直徑的圓為(x-$\frac{5}{2}$)2+(y-$\frac{3}{4}$)2=$\frac{45}{16}$,交x軸于點P3(1,0)或P4(4,0).
故若滿足條件的點P存在,只能是P(1,0),證明如下:
∵$\overrightarrow{PN}$=(-$\frac{4k}{m}-1$,$\frac{3}{m}$),$\overrightarrow{PM}$=(3,4k+m),
∴$\overrightarrow{PN}•\overrightarrow{PM}$=-$\frac{12k}{m}$-3+$\frac{12k}{m}$+3=0.
故以NM為直徑的圓恒過x軸上的定點P(1,0).
點評 本題主要考查拋物線的定義域性質(zhì)、圓的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,考查運算能力,考查化歸思想,屬于中檔題.
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x | -3 | -2 | 0 | 1 | 3 | 4 | 8 |
f'(x) | -24 | -10 | 6 | 8 | 0 | -10 | -90 |
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A. | (-3,+∞) | B. | (-3,-2] | C. | [-3,0] | D. | [-2,1] |
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