8.已知橢圓C的中心在原點,離心率為$\frac{1}{2}$,且與拋物線y2=4x有共同的焦點.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C相切于N點,且與直線x=4交于M點,試探究,在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點P,使得以MN為直徑的圓恒過點P?

分析 (Ⅰ)由拋物線方程求出拋物線的焦點坐標(biāo),可得橢圓的半焦距,結(jié)合離心率求得a,再由隱含條件求得b,則橢圓方程可求;
(Ⅱ)聯(lián)立直線方程和橢圓方程,化為關(guān)于x的一元二次方程,由判別式等于0得到k與m的關(guān)系,求得N,M的坐標(biāo),分別取k,m的兩組值,求出以NM為直徑的圓所過定點,證明普遍性得答案.

解答 解:(Ⅰ)由拋物線y2=4x,得拋物線焦點坐標(biāo)為(1,0),
∴橢圓焦點在x軸上,且c=1,又e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$,∴a=2.
∴b2=a2-c2=3.
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$;
(Ⅱ)由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$,消元可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.
∵動直線l:y=kx+m與橢圓C有且只有一個公共點N(x0,y0
∴m≠0,△=0,∴(8km)2-4×(4k2+3)×(4m2-12)=0.
即4k2-m2+3=0,①
此時x0=-$\frac{4km}{4{k}^{2}+3}$=-$\frac{4k}{m}$,y0=$\frac{3}{m}$,即N(-$\frac{4k}{m}$,$\frac{3}{m}$),
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{x=4}\end{array}\right.$,得M(4,4k+m),
取k=0,m=$\sqrt{3}$,此時N(0,$\sqrt{3}$),M(4,$\sqrt{3}$),以NM為直徑的圓為(x-2)2+(y-$\sqrt{3}$)2=4,交x軸于點P1(1,0)或P2(3,0).
取k=-$\frac{1}{2}$,m=2,此時N(1,$\frac{3}{2}$),M(4,0),以NM為直徑的圓為(x-$\frac{5}{2}$)2+(y-$\frac{3}{4}$)2=$\frac{45}{16}$,交x軸于點P3(1,0)或P4(4,0).
故若滿足條件的點P存在,只能是P(1,0),證明如下:
∵$\overrightarrow{PN}$=(-$\frac{4k}{m}-1$,$\frac{3}{m}$),$\overrightarrow{PM}$=(3,4k+m),
∴$\overrightarrow{PN}•\overrightarrow{PM}$=-$\frac{12k}{m}$-3+$\frac{12k}{m}$+3=0.
故以NM為直徑的圓恒過x軸上的定點P(1,0).

點評 本題主要考查拋物線的定義域性質(zhì)、圓的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,考查運算能力,考查化歸思想,屬于中檔題.

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18.如圖,莖葉圖記錄了某城市甲、乙兩個觀測點連續(xù)三天觀測到的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI).乙觀測點記錄中有一個數(shù)字模糊無法確認(rèn),已知該數(shù)是0,1,…,9中隨機(jī)的一個數(shù),并在圖中以a表示.
(Ⅰ)若甲、乙兩個觀測點記錄數(shù)據(jù)的平均值相同,求a的值;
(Ⅱ)當(dāng)a=2時,分別從甲、乙兩觀測點記錄的數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取一天的觀測值,記這兩觀測值之差的絕對值為X,求|X|≤2的概率.

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19.在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-y2=1的左、右頂點分別為A1,A2,點P(x0,y0),Q(x0,-y0)是雙曲線上不同的兩個動點.
(1)求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程;
(2)過坐標(biāo)原點O作一條直線交軌跡E于A,B兩點,過點B作x軸的垂線,垂足為點C,連AC交軌跡E于點D,求證:AB⊥BD.

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16.如圖,正四棱錐S-ABCD中.SA=AB=2,E、F、G分別為BC、SC、DC的中點,設(shè)P為線段FG上任意一點.
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3.已知函數(shù)f(x)=2ln(x+1)+$\frac{1}{x(x+1)}-1$;
(Ⅰ)求f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最小值;
(Ⅱ)證明:當(dāng)n≥2時,對任意的正整數(shù)n,都有l(wèi)n1+ln2+…+lnn$>\frac{(n-1)^{2}}{2n}$.

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13.已知橢圓G:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)在y軸上的一個頂點為M,兩個焦點分別是F1,F(xiàn)2,∠F1MF2=120°,△MF1F2的面積為$\sqrt{3}$.
(1)求橢圓G的方程;
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20.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx,其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)的部分值如表所示:
x-3-201348
f'(x)-24-10680-10-90
根據(jù)表中數(shù)據(jù),回答下列問題:
(Ⅰ)實數(shù)c的值為6;當(dāng)x=3時,f(x)取得極大值(將答案填寫在橫線上).
(Ⅱ)求實數(shù)a,b的值.
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17.設(shè)f(x)與g(x)是定義在同一區(qū)間[a,b]上的兩個函數(shù),若函數(shù)y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有兩個不同的零點,則稱f(x)和g(x)在[a,b]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”,區(qū)間[a,b]稱為“關(guān)聯(lián)區(qū)間”.若f(x)=x2-3x+1與g(x)=x+m在[0,3]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”,則m的取值范圍為( 。
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(2)若集合C={x|bx=1},且C⊆B,求實數(shù)b的值.

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