Question

【題目】如圖，直三棱柱中，，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn).

（1）若，求證：；

（2）若，異面直線與所成的角為，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

(1) 根據(jù)三棱柱是直三棱柱的特征，又，可作中點(diǎn)，連接DM,通過(guò)線面垂直證明平面，可推出，又，可證

(2) 通過(guò)作圖，分別以，，為軸、軸、軸，建立空間直角體系，先通過(guò)幾何法求出長(zhǎng)度，分別表示出線面角各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，再用向量公式算出直線與平面所成角的正弦值

證明：（1）取中點(diǎn)，連接，，有，

因?yàn)?/span>，所以，

又因?yàn)槿�棱�?/span>為直三棱柱，

所以平面平面，

又因?yàn)槠矫?/span>平面，

所以平面，

又因?yàn)?/span>平面，

所以

又因?yàn)?/span>，，平面，平面，

所以平面，

又因?yàn)?/span>平面，

所以，因?yàn)?/span>，

所以.

（2）設(shè)，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，

分別以，，為軸、軸、軸，建立空間直角體系，

由（1）可知，，所以，

故，，，，，

對(duì)平面，，，

所以其法向量可表示為.

又，

所以直線與平面成角的正弦值.