如圖所示的兩個(gè)同心圓盤均被等分(且),在相重疊的扇形格中依次同時(shí)填上,內(nèi)圓盤可繞圓心旋轉(zhuǎn),每次可旋轉(zhuǎn)一個(gè)扇形格,當(dāng)內(nèi)圓盤旋轉(zhuǎn)到某一位置時(shí),定義所有重疊扇形格中兩數(shù)之積的和為此位置的“旋轉(zhuǎn)和”.
(1)求個(gè)不同位置的“旋轉(zhuǎn)和”的和;
(2)當(dāng)為偶數(shù)時(shí),求個(gè)不同位置的“旋轉(zhuǎn)和”的最小值;
(3)設(shè),在如圖所示的初始位置將任意對(duì)重疊的扇形格中的兩數(shù)均改寫為0,證明:當(dāng)時(shí),通過旋轉(zhuǎn),總存在一個(gè)位置,任意重疊的扇形格中兩數(shù)不同時(shí)為0.
(1);(2) 最小值;(3)詳見解析.
解析試題分析:(1)個(gè)不同位置的“旋轉(zhuǎn)和”的和,就是將所有位置的旋轉(zhuǎn)相加,故內(nèi)盤中的任一數(shù)都會(huì)和外盤中的每個(gè)數(shù)作積;(2)設(shè)內(nèi)盤中的和外盤中的同扇形格時(shí)的“旋轉(zhuǎn)和”為;設(shè)內(nèi)盤中的和外盤中的同扇形格時(shí)的“旋轉(zhuǎn)和”為;依次下去,設(shè)內(nèi)盤中的和外盤中的同扇形格時(shí)的“旋轉(zhuǎn)和”為;這樣便得一個(gè)數(shù)列.這樣問題轉(zhuǎn)化為求該數(shù)列的最小值.求數(shù)列的最值,首先研究數(shù)列的單調(diào)性,而研究數(shù)列的單調(diào)性,就是研究相鄰兩項(xiàng)的差的符號(hào),即研究的符號(hào);(3)顯然直接證明有點(diǎn)困難,故采用反證法.由于該問題只涉及0與非0的問題,故可將圖中所有非數(shù)改寫為,這樣共有個(gè)0,個(gè)1.假設(shè)任意位置,總存在一個(gè)重疊的扇形格中兩數(shù)同時(shí)為,則此位置的“旋轉(zhuǎn)和”必大于或等于,初始位置外的個(gè)位置的“旋轉(zhuǎn)和”的和為,則有,即,這與矛盾,故命題得證.
試題解析:(1)由于內(nèi)盤中的任一數(shù)都會(huì)和外盤中的每個(gè)作積,故個(gè)不同位置的“旋轉(zhuǎn)和”的和為
; 3分
(2)設(shè)內(nèi)盤中的和外盤中的同扇形格時(shí)的“旋轉(zhuǎn)和”為
則
5分
所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以時(shí),最小
最小值
; 8分
(3)證明:將圖中所有非數(shù)改寫為,現(xiàn)假設(shè)任意位置,總存在一個(gè)重疊的扇形格中兩數(shù)同時(shí)為,則此位置的“旋轉(zhuǎn)和”必大于或等于,初始位置外的個(gè)位置的“旋轉(zhuǎn)和”的和為
,則有,即,這與矛盾,故命題得證. 12分
考點(diǎn):數(shù)列及數(shù)列的和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如果數(shù)列滿足:且,則稱數(shù)列為階“歸化數(shù)列”.
(1)若某4階“歸化數(shù)列”是等比數(shù)列,寫出該數(shù)列的各項(xiàng);
(2)若某11階“歸化數(shù)列”是等差數(shù)列,求該數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)若為n階“歸化數(shù)列”,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列的前項(xiàng)和和通項(xiàng)滿足(,是大于0的常數(shù),且),數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列,.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),是否存在實(shí)數(shù),使數(shù)列是等比數(shù)列?若存在,求出所有可能的實(shí)數(shù)的值,若不存在說明理由;
(3)數(shù)列是否能為等比數(shù)列?若能,請(qǐng)給出一個(gè)符合的條件的和的組合,若不能,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)項(xiàng)數(shù)均為()的數(shù)列、、前項(xiàng)的和分別為、、.已知集合=.
(1)已知,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若,試研究和時(shí)是否存在符合條件的數(shù)列對(duì)(,),并說明理由;
(3)若,對(duì)于固定的,求證:符合條件的數(shù)列對(duì)(,)有偶數(shù)對(duì).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題10分,計(jì)入總分)
已知數(shù)列滿足:
⑴求;
⑵當(dāng)時(shí),求與的關(guān)系式,并求數(shù)列中偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式;
⑶求數(shù)列前100項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)的和.
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