Question

已知α、β都是銳角，cosα=

1

3

，sin（α+β）=

2 2 + 3

6

，求β的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：將β用（α+β）-α來(lái)表示，由此cosβ=cos[（α+β）-α]=cosαcos（α+β）+sinαsin（α+β），利用同角三角函數(shù)公式求出數(shù)據(jù)，代入計(jì)算即可．

解答： 解：∵α、β都是銳角，
∴sinα=

1-cos2α

=

2 2

3

，
sin（α+β）=

2 2 + 3

6

，
∵

2 2

3

＞

2 2 + 3

6

，∴α+β是鈍角．
cos（α+β）=-

1-sin2(α+β)

=-

25-4 6

6

=-

2 6 -1

6

，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cosαcos（α+β）+sinαsin（α+β）
=

1

3

×(-

2 6 -1

6

)+

2 2

3

×

2 2 + 3

6

=

8+2 6 -2 6 +1

18

=

1

2

．
β=60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式及應(yīng)用，關(guān)鍵將α+β視為整體，將β用（α+β）-α來(lái)表示，實(shí)現(xiàn)了角的代換．