Question

11．如圖，在底面為菱形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=60°，SA=AB=a，SB=SD=$\sqrt{2}$SA，點P在SD上，且SD=3PD，
（1）證明：BD⊥平面SAC；
（2）若過點B的平面與SC、SD分別交于點E、F，且平面BEF∥平面APC，求SE的長度．

Answer 1

分析 （1）證明SA⊥平面ABCD，可得BD⊥SA，ABCD是菱形，可得BD⊥AC，即可證明BD⊥平面SAC；
（2）證明F是SP的中點，E是SC的中點，求出SC，即可求SE的長度．

解答 （1）證明：菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=a，
∴AB=AD=AC=a，
∵SA=a，SB=$\sqrt{2}$a，
∴AB²+SA²=SB²，
∴SA⊥AB，
同理SA⊥AD，
∵AB∩AD=A，
∴SA⊥平面ABCD，
∵BD∈平面ABCD，
∴BD⊥SA，
連接AC，BD交于點O，
∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∵SA∩AC=A，
∴BD⊥平面SAC；
（2）解：連接PO，
∵O是菱形ABCD的對角線的交點，
∴BO=DO，
∵平面BEF∥平面APC，∴PC∥EF，
同理PO∥EF，
∴△BDF中，PO是中位線，
∵SD=3PD，
∴PD=PF=$\frac{1}{3}$SD，
∴F是SP的中點，
∵PC∥EF，
∴E是SC的中點，
△SAC中，SA=AC=a，
∵SA⊥平面ABCD，
∴SA⊥AC，
∴SC=$\sqrt{2}$SA=$\sqrt{2}a$，
∴SE=$\frac{1}{2}$SC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．

點評 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查平面與平面平行的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．