Question

17．如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為菱形，側(cè)面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=60°，AB=SB=SC=2．
（1）證明：BC⊥SA；
（2）求直線SD與平面SAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)E點為BC的中點，連接SE、AE、AC，由已知得AE⊥BC，SE⊥BC，由此能證明BC⊥面SAE，從而得到BC⊥SA．
（2）以E為原點，EA為x軸，EB為y軸，ES為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此利用向量法能求出直線SD與平面SAB所成角的正弦值．

解答 （1）證明：設(shè)E點為BC的中點，連接SE、AE、AC，
∵四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為菱形，側(cè)面SBC⊥底面ABCD，∠ABC=60°，AB=SB=SC=2．
∴△ABC為正三角形，△SBC也為正三角形，
∴AE⊥BC，SE⊥BC，
∵AE∩SE=E，∴BC⊥面SAE，
∵SA?平面SAE，∴BC⊥SA．
（2）解：以E為原點，EA為x軸，EB為y軸，ES為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知得A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），S（0，0，$\sqrt{3}$），D（$\sqrt{3}$，-2，0），
$\overrightarrow{SD}$=（$\sqrt{3}$，-2，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{SA}$=（$\sqrt{3}，0，-\sqrt{3}$），$\overrightarrow{SB}$=（0，1，-$\sqrt{3}$），
設(shè)平面SAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SA}=\sqrt{3}x-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}=y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，1），
設(shè)直線SD與平面SAB所成角為θ，
sinθ=|cos＜$\overrightarrow{SD}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{SD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{SD}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{3}-\sqrt{3}}{\sqrt{10}•\sqrt{5}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{5}$．
∴直線SD與平面SAB所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{5}$．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．