Question

7．已知F₁，F(xiàn)₂分別是離心率為$\frac{3}{5}$的橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)，P為橢圓E上一點(diǎn)，且△F₁F₂P的周長(zhǎng)為16．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若|PF₁|=$\frac{16}{5}$，求點(diǎn)P到橢圓左頂點(diǎn)A的距離．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的定義和離心率公式，解得a=5，c=3，b=4，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）運(yùn)用橢圓的第二定義，求得P的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算即可得到．

解答 解：（1）△F₁F₂P的周長(zhǎng)為16，
即有|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=2a+2c=16，
即a+c=8，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{5}$，
解得a=5，c=3，b=4，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1；
（2）橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的左準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{25}{3}$，
由|PF₁|=$\frac{16}{5}$，可得e=$\frac{|P{F}_{1}|}sx9fodv$=$\frac{3}{5}$，
則d=x_P+$\frac{25}{3}$=$\frac{16}{3}$，
即有x_P=-3，y_P=±$\frac{16}{5}$．
則點(diǎn)P到橢圓左頂點(diǎn)A（-5，0）的距離為：
$\sqrt{（-3+5）^{2}+（\frac{16}{5}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{89}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，考查兩點(diǎn)的距離公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．