【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1.
(1)證明{an+ }是等比數(shù)列,并求{an}的通項公式;
(2)證明: + +…+ < .
【答案】
(1)證明: =3,
∵ ≠0,
∴數(shù)列{an+ }是以首項為 ,公比為3的等比數(shù)列;
∴an+ = = ,即 ;
(2)證明:由(1)知 ,
當(dāng)n≥2時,∵3n﹣1>3n﹣3n﹣1,∴ < = ,
∴當(dāng)n=1時, 成立,
當(dāng)n≥2時, + +…+ <1+ …+ = = < .
∴對n∈N+時, + +…+ < .
【解析】(1)根據(jù)等比數(shù)列的定義,后一項與前一項的比是常數(shù),即 =常數(shù),又首項不為0,所以為等比數(shù)列;再根據(jù)等比數(shù)列的通項化式,求出{an}的通項公式;(2)將 進(jìn)行放大,即將分母縮小,使得構(gòu)成一個等比數(shù)列,從而求和,證明不等式.
【考點精析】認(rèn)真審題,首先需要了解數(shù)列的前n項和(數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系),還要掌握等比數(shù)列的基本性質(zhì)({an}為等比數(shù)列,則下標(biāo)成等差數(shù)列的對應(yīng)項成等比數(shù)列;{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列== {an}是各項不為零的常數(shù)列)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求的最小正周期;
(2)設(shè),若在上的值域為,求實數(shù)的值;
(3)若對任意的和恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣l|+|x﹣3|.
(1)解不等式f(x)≤6;
(2)若不等式f(x)≥ax﹣1對任意x∈R恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)ξ為隨機(jī)變量,從側(cè)面均是等邊三角形的正四棱錐的8條棱中任選兩條,ξ為這兩條棱所成的角.
(1)求概率 ;
(2)求ξ的分布列,并求其數(shù)學(xué)期望E(ξ).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值;
(2)若在上是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面上,過點P作直線l的垂線所得的垂足稱為點P在直線l上的投影,由區(qū)域 中的點在直線x+y﹣2=0上的投影構(gòu)成的線段記為AB,則|AB|=( 。
A.2
B.4
C.3
D.6
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知b+c=2acosB.
(1)證明:A=2B
(2)若△ABC的面積S= ,求角A的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)命題p:實數(shù)x滿足(x-a)(x-3a)<0,其中a>0,命題q:實數(shù)x滿足(x-3)(x-2)≤0.
(1)若a=1,且p∧q為真,求實數(shù)x的取值范圍.
(2)若¬p是¬q的充分不必要條件,求實數(shù)a的取值范圍.
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