已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F1（2，0），離心率為e．
（1）若e=
2
2
，求橢圓的方程；
（2）設(shè)A，B為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，AF1的中點(diǎn)為M，BF1的中點(diǎn)為N，若原點(diǎn)O在以線段MN為直徑的圓上．
①證明點(diǎn)A在定圓上；
②設(shè)直線AB的斜率為k，若k≥
3
，求e的取值范圍．
（1）由e=
2
2
=
c
a
，c=2，得a=2
2
，b=
a2-c2
=2．
故所求橢圓方程為
x2
8
+
y2
4
=1．
（2）設(shè)A（x1，y1），則B（-x1，-y1），故M(
x1+2
2
，
y1
2
)，N(
2-x1
2
，-
y1
2
)．
①由題意，得
OM
•
ON
=0．化簡(jiǎn)，得
x21
+
y21
=4，∴點(diǎn)A在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上．
②設(shè)A（x1，y1），則
y1=kx1
x21
a2
+
y21
b2
=1
x21
+
y21
=4
得到
1
a2
+
k2
b2
=
1
4
(1+k2)．
將e=
c
a
=
2
a
，b2=a2-c2=
4
e2
-4，代入上式整理，得k2（2e2-1）=e4-2e2+1；
∵e4-2e2+1＞0，k2＞0，
∴2e2-1＞0，
∴e＞
2
2
．
∴k2=
e4-2e2+1
2e2-1
≥3，化簡(jiǎn)得
e4-8e2+4≥0
2e2-1＞0
，解之得
1
2
＜e2≤4-2
3
，
2
2
＜e≤
3
-1．
故離心率的取值范圍是(
2
2
，
3
-1]．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖⊙O的半徑OB垂直于直徑AC，M為AO上一點(diǎn)，BM的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N的切線交CA的延長(zhǎng)線于P.
（1）求證：;
（2）若⊙O的半徑為，OA=OM,求MN的長(zhǎng).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓M、拋物線N的焦點(diǎn)均在x軸上的，且M的中心和M的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O，從每條曲線上取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：
x3-24
2
y-2
3
0-4
2
2
（Ⅰ）求M，N的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知定點(diǎn)A（1，
1
2
），過(guò)原點(diǎn)O作直線l交橢圓M于B，C兩點(diǎn)，求△ABC面積的最大值和此時(shí)直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

橢圓mx2+ny2=1與直線x+y=1交于M，N兩點(diǎn)，MN的中點(diǎn)為P，且OP的斜率為
2
2
，則
m
n
的值為（　�。�
A．
2
2
B．
2
2
3
C．
9
2
2
D．
2
3
27

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知雙曲線E：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的離心率為e，左、右兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，焦距為2c，拋物線C以F2為頂點(diǎn)，F(xiàn)1為焦點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線與雙曲線右支上的一個(gè)交點(diǎn)，若a|PF2|+c|PF1|=8a2，則e的值為（　　）
A．
3
B．3C．
2
D．
6

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y2=-x與直線y=k（x+1）相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求證：OA⊥OB；
（2）當(dāng)△OAB的面積等于
10
時(shí)，求k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

直線y=2x+1與橢圓
x2
4
+
y2
16
=1的位置關(guān)系是（　�。�
A．相交B．相切C．相離D．不確定

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C1：
x2
4
+
y2
3
=1，拋物線C2：（y-m）2=2px（p＞0），且C1、C2的公共弦AB過(guò)橢圓C1的右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，求m、p的值，并判斷拋物線C2的焦點(diǎn)是否在直線AB上；
（Ⅱ）是否存在m、p的值，使拋物線C2的焦點(diǎn)恰在直線AB上？若存在，求出符合條件的m、p的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

斜率為1，過(guò)拋物線y=
1
4
x2的焦點(diǎn)的直線截拋物線所得的弦長(zhǎng)為（　�。�
A．8B．6C．4D．10

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同步練習(xí)冊(cè)答案