Question

若實(shí)數(shù)a、b、c、d滿足（b+a²-3lna）²+（c-d+2）²=0，則（a-c）²+（b-d）²的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由題設(shè)條件：b+a²-3lna=0，設(shè)b=y，a=x，得到y(tǒng)=3lnx-x²；c-d+2=0，設(shè)c=x，d=y，得到y(tǒng)=x+2，所以（a-c）²+（b-d）²就是曲線y=3lnx-x²與直線y=x+2之間的最小距離的平方值，由此能求出（a-c）²+（b-d）²的最小值．

解答： 解：∵實(shí)數(shù)a、b、c、d滿足：
（b+a²-3lna）²+（c-d+2）²=0，
∴b+a²-3lna=0，設(shè)b=y，a=x，
則有：y=3lnx-x²
c-d+2=0，設(shè)c=x，d=y，則有：y=x+2，
∴（a-c）²+（b-d）²就是曲線y=3lnx-x²與直線y=x+2之間的最小距離的平方值
對曲線y=3lnx-x²求導(dǎo)：
y′（x）=

3

x

-2x，
與y=x+2平行的切線斜率k=1=

3

x

-2x，
解得：x=1或x=-

3

2

（舍）
把x=1代入y=3lnx-x²，得：y=-1，
即切點(diǎn)為（1，-1）
切點(diǎn)到直線y=x+2的距離：
L=

|1+1+2|

2

=2

2

，
即L²=8，（a-c）²+（b-d）²的最小值就是8．
故答案為：8．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)在求解函數(shù)最值中的應(yīng)用，對數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用，是中檔題，解題時要注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．