已知函數(shù)g（x）=kx+b（k≠0），當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，g（x）的最大值比最小值大2，又f（x）=2x+3．是否存在常數(shù)k，b使得f[g（x）]=g[f（x）]對(duì)任意的x恒成立，如果存在，求出k，b．如果不存在，說(shuō)明為什么？
分析：先看k＞0時(shí)可分別表示出g（x）的最大和最小值，根據(jù)題意求得k；再看k＜0時(shí)表示出函數(shù)的最大和最小值，求得k，進(jìn)而假設(shè)存在k，b使得f[g（x）]=g[f（x）]對(duì)任意的x恒成立，求得k=1時(shí)函數(shù)f[g（x）]的表達(dá)式，根據(jù)f[g（x）]=g[f（x）]求得b．同理求得k=-1時(shí)b的值，得出結(jié)論．
解答：解：①當(dāng)k＞0時(shí)：g（x）在區(qū)間[-1，1]上，
g（x）max=g（1）=k+b；
g（x）min=g（-1）=-k+b
∴k+b-（-k+b）=2即：k=1
②當(dāng)k＜0時(shí)：g（x）在區(qū)間[-1，1]上，
g（x）max=g（-1）=-k+b；
g（x）min=g（1）=k+b
∴-k+b-（k+b）=2即：k=-1
假設(shè)存在k，b使得f[g（x）]=g[f（x）]對(duì)任意的x恒成立；
當(dāng)k=1時(shí)，f[g（x）]
=f（x+b）=2（x+b）+3
=2x+2b+3=g[f（x）]
=g（2x+3）
=2x+3+b
∴2x+2b+3=2x+b+3即：b=0
同理：當(dāng)k=-1時(shí)，b=-6
∴存在
k=1
b=0
或
k=-1
b=-6
時(shí)，使得f[g（x）]=g[f（x）]對(duì)任意的x恒成立
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)最值的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立的問(wèn)題．考查了學(xué)生的推理分析問(wèn)題的能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)g（x）=ax2-2ax+1+b（a≠0，b＜1），在區(qū)間[2，3]上有最大值4，最小值1，設(shè)f（x）=
g(x)
x
．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）不等式f（2x）-k•2x≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)k的范圍；
（Ⅲ）方程f(|2x-1|)+k(
2
|2x-1|
-3)=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+bsinx-2，（b∈R），F(xiàn)（x）=f（x）+2，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，恒有F（x-5）=F（5-x）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）已知函數(shù)g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在區(qū)間（0，1）上單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）函數(shù)h(x)=ln(1+x2)-
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f(x)-k有幾個(gè)零點(diǎn)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+bsinx-2（b∈R），F(xiàn)（x）=f（a）+2且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，恒有F（x）-F（-x）=0
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知函數(shù)g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若關(guān)于x的方程
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f(x)=4lnx-k在[1，e]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)g（x）=ax2-2ax+1+b（a＞0），在區(qū)間[2，3]上有最大值4，最小值1，設(shè)f(x)=
g(x)
x
．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若不等式f（x）-kx≥0在x∈（0，+∞）時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）方程f(|2x-1|)+k(
2
|2x-1|
-3)=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•�？谀M）已知函數(shù)f（x）=x2+bsinx-2（b∈R），F(xiàn)（x）=f（x）+2，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，恒有F（x）-F（-x）=0．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）已知函數(shù)g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）函數(shù)h（x）=ln（1+x2）-
12
f（x）-k，（k∈R），試判斷函數(shù)h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)？

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