Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）過右焦點F的直線l交雙曲線右支為A、B兩點，且A、B兩點到l₁：x=

a2

c

距離之比為3：1，且l₁傾斜角是漸近線傾斜角的2倍，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A、

  3 2

  4

• B、

  2 3

  3

• C、

  30

  5

• D、

  33 -1

  4

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：

分析：首先根據(jù)直線l的傾斜角是漸近線的傾斜角的2倍，可求得直線l的斜率，進一步求得經(jīng)過右焦點的直線方程為：y=

2ab

a2-b2

（x-c），然后，利用雙曲線的第二定義，任一點M到焦點與到相應準線的比值為離心率，即

|MF|

d

=e，然后把距離比轉化為向量的關系進一步利用方程組求的結果．

解答： 解：雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）過右焦點F（c，0）雙曲線漸近線的斜率為

b

a

，且直線l的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍，則直線l的斜率為

2ab

a2-b2

，
進一步求得直線l的方程為：y=

2ab

a2-b2

（x-c），
設直線l與雙曲線的交點為A，根據(jù)雙曲線的第二定義：

|MF|

d

=e
|AF|=3|BF|，即

AF

=3

FB

建立方程組：

y= 2ab a2-b2 (x-c) y=± b a x

解得：y=-

2abc

3a2-b2

或y=

2abc

a2+b2

，利用

AF

=3

FB

求得：a與c的關系：c=

33 -1

4

a
根據(jù)e=

c

a

求得答案為：e=

c

a

=

33 -1

4

故選：D

點評：本題考察的知識點：直線方程的點斜式，雙曲線的第二定義，向量的關系以及方程的運算問題．難度較大