Question

4．教育學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)加強(qiáng)語文閱讀理解訓(xùn)練與提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率有關(guān)，某校興趣小組為了驗證這個結(jié)論，從該校選擇甲、乙兩個同軌班級進(jìn)行實驗，其中甲班加強(qiáng)閱讀理解訓(xùn)練，乙班常規(guī)教學(xué)無額外訓(xùn)練，一段時間后進(jìn)行數(shù)學(xué)應(yīng)用題測試，統(tǒng)計數(shù)據(jù)情況如下面2×2列聯(lián)表：（單位：人）

	優(yōu)秀人數(shù)	非優(yōu)秀人數(shù)	總計
甲班	22	8	30
乙班	8	12	20
總計	30	20	50

（1）能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為加強(qiáng)語文閱讀理解訓(xùn)練與提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率有關(guān)？
（2）經(jīng)過多次測試后，小明正確解答一道數(shù)學(xué)題所用的時間在5-7分鐘，小剛正確解答一道數(shù)學(xué)題所用的時間在6-8分鐘，現(xiàn)小明、小剛同時獨立解答同一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題，求小剛比小明先正確解答完的概率；
（3）現(xiàn)從乙班成績優(yōu)秀的8名同學(xué)中任意抽取兩人，并對他們的大題情況進(jìn)行全程研究，記A、B兩人中被抽到的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．
附表及公式

P（k2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （1）由表中數(shù)據(jù)計算K²，對照臨界值得出結(jié)論；
（2）設(shè)小明與小剛解答這道題所用的時間分別為x、y分鐘，
寫出基本事件所滿足的平面區(qū)域，由幾何概型計算概率值；
（3）由題意寫出X的所有可能取值，計算對應(yīng)的概率，
求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由表中數(shù)據(jù)計算K²的觀測值：K²=$\frac{50{×（22×12-8×8）}^{2}}{30×20×30×20}$≈5.556＞5.024．
所以根據(jù)統(tǒng)計有97.5%的把握認(rèn)為加強(qiáng)語文閱讀理解訓(xùn)練與提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率有關(guān)；
（2）設(shè)小明與小剛解答這道題所用的時間分別為x、y分鐘，
則基本事件所滿足的條件是$\left\{\begin{array}{l}{5≤x≤7}\\{6≤y≤8}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域；
設(shè)事件A為“小剛比小明先解答完試題”，則滿足的區(qū)域為x＞y；
由幾何概型的概率，計算P（A）=$\frac{\frac{1}{2}×1×1}{2×2}$=$\frac{1}{8}$，
∴小剛比小明先正確解答完的概率是$\frac{1}{8}$；
（3）根據(jù)題意，X的所有可能取值為0，1，2，則P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{15}{28}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{•C}_{2}^{1}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{12}{28}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{1}{28}$；
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{15}{28}$	$\frac{12}{28}$	$\frac{1}{28}$

X的數(shù)學(xué)期望為EX=所以E（X）=0×$\frac{15}{28}$+1×$\frac{12}{28}$+2×$\frac{1}{28}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了獨立檢驗以及離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法問題，是綜合題．