Question

命題p：不等式

1-x2

＜x+a在區(qū)間[-1，1]上恒成立，命題q：存在x∈R⁺，使不等式ax²-x+2a＜0成立，若“p或q為真”，“p且q為假”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：通過(guò)三角換元我們可以求出命題p不等式

1-x2

＜x+a在區(qū)間[-1，1]上恒成立，及利用基本不等式求出命題q：存在x∈R⁺，使不等式ax²-x+2a＜0成立時(shí)，a的取值范圍，根據(jù)“p或q為真”，“p且q為假”，結(jié)合復(fù)合命題的真值表，可得p、q一真一假，分類討論后可得實(shí)數(shù)a的取值范圍

解答： 解：當(dāng)p為真命題時(shí)，不等式

1-x2

＜x+a在區(qū)間[-1，1]上恒成立，
令x=cosθ，θ∈[0，π]，則

1-x2

=sinθ，…（2分）
故有a＞sinθ-cosθ=

2

sin(θ-

π

4

)對(duì)θ∈[0，π]恒成立，
所以a＞(

2

sin(θ-

π

4

))max，
因?yàn)椤擀取蔥0，π]，
∴θ-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴θ-

π

4

=

π

2

，即θ=

3π

4

時(shí)，
(

2

sin(θ-

π

4

))max=

2

，此時(shí)x=-

2

2

，
故a＞

2

．…（6分）
當(dāng)q為真命題時(shí)，不等式ax²-x+2a＜0有正實(shí)數(shù)解，
即不等式a＜

x

x2+2

有正實(shí)數(shù)解，
所以a＜(

x

x2+2

)max，
而當(dāng)x＞0時(shí)，

x

x2+2

=

1

x+ 2 x

≤

1

2 x• 2 x

=

1

2 2

=

2

4

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

x

即x=

2

時(shí)取“=”．
所以a＜

2

4

．…（9分）
由“p或q為真”，“p且q為假”得p與q是一真一假，
當(dāng)p真q假時(shí)，有

a＞ 2 a≥ 2 4

，即a＞

2

．…（11分）
當(dāng)p假q真時(shí)，有

a≤ 2 a＜ 2 4

即a＜

2

4

．…（13分）
綜上得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：(-∞，

2

4

)∪(

2

，+∞)．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題以復(fù)合命題的真假判斷為載體考查了不等式恒成立問題，考查根據(jù)基本不等式求最值，屬于一道中檔題．