Question

15．已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為$ρsin（θ+\frac{π}{6}）=4$．
（Ⅰ）寫(xiě)出曲線C的極坐標(biāo)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若射線$θ=\frac{π}{3}$與曲線C交于O，A兩點(diǎn)，與直線l交于B點(diǎn)，射線$θ=\frac{11π}{6}$與曲線C交于O，P兩點(diǎn)，求△PAB的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，寫(xiě)出曲線C的極坐標(biāo)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求出A，B，P的坐標(biāo)，即可求△PAB的面積．

解答 解：（Ⅰ）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），普通方程為（x-2）²+y²=4，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ；
直線l的極坐標(biāo)方程為$ρsin（θ+\frac{π}{6}）=4$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ+\frac{1}{2}ρcosθ=4$，直線l的直角坐標(biāo)方程為$x+\sqrt{3}y-8=0$------（4分）
（Ⅱ）聯(lián)立射線$θ=\frac{π}{3}$與曲線C及直線l的極坐標(biāo)方程可得，$A（2，\frac{π}{3}），B（4，\frac{π}{3}）$
聯(lián)立射線$θ=\frac{11π}{6}$與曲線C的極坐標(biāo)方程可得，$P（2\sqrt{3}，\frac{11π}{6}）$-------（7分）
∴|AB|=2，∴${S_{△PAB}}=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}sin（\frac{π}{3}+\frac{π}{6}）=2\sqrt{3}$---------（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．