Question

18．若4^x-5×2^x+4≤0，求y=（$\frac{1}{9}$）^x-4×（$\frac{1}{3}$）^x+2的最大值與最小值．

Answer 1

分析 根據(jù)指數(shù)不等式的解法先求出x的取值范圍，利用換元法轉化為一元二次函數(shù)進行求解即可．

解答 解：若4^x-5×2^x+4≤0，
則若（2^x）²-5×2^x+4≤0，
即（2^x-1）（2^x-4）≤0，
即1≤2^x≤4，即0≤x≤2，
則y=（$\frac{1}{9}$）^x-4×（$\frac{1}{3}$）^x+2=y=[（$\frac{1}{3}$）^x]²-4×（$\frac{1}{3}$）^x+2，
設t=（$\frac{1}{3}$）^x，則$\frac{1}{9}$≤t≤1，
則函數(shù)等價為y=t²-4t+2=（t-2）²-2，
則函在$\frac{1}{9}$≤t≤1，上為減函數(shù)，
則當t=1時，函數(shù)取得最小值為y=1-4+2=-1，
當t=$\frac{1}{9}$時，函數(shù)取得最大值為y=（$\frac{1}{9}$）²-4×$\frac{1}{9}$+2=$\frac{127}{81}$．

點評 本題主要考查復合函數(shù)單調性和最值的求解，利用換元法轉化為一元二次函數(shù)是解決本題的關鍵．