Question

8．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（1-x），且在[1，+∞）上是增函數(shù)，不等式f（ax+2）≤f（x-1）對任意x∈[$\frac{1}{2}$，1]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-2，0]．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的對稱性判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用不等式恒成立轉(zhuǎn)化為參數(shù)恒成立即可．

解答 解：∵f（x+1）=f（1-x），
∴函數(shù)f（x）關(guān)于x=1對稱，
∵f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，1]是減函數(shù)，
即f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上為減函數(shù)，
若不等式f（ax+2）≤f（x-1）對任意x∈[$\frac{1}{2}$，1]恒成立，
∵x∈[$\frac{1}{2}$，1]，∴x-1∈[-$\frac{1}{2}$，0]，
若a=0，則不等式等價為f（2）≤f（x-1），
即f（0）≤f（x-1），此時滿足條件，
若a＞0，
則ax∈[$\frac{1}{2}$a，a]，∴ax+2∈[$\frac{1}{2}$a+2，a+2]，
則f（ax+2）=f（-ax），
則f（ax+2）≤f（x-1）等價為f（-ax）≤f（x-1），
則函數(shù)則（-∞，1）上為減函數(shù)，
∴-ax≥x-1，
即a≤$\frac{1}{x}$-1，
∵y=$\frac{1}{x}$-1在x∈[$\frac{1}{2}$，1]為減函數(shù)，
∴函數(shù)的最小值為y=1-1=0，
此時a≤0，此時a無解，
若a＜0，則ax∈[a，$\frac{1}{2}$a]，∴ax+2∈[a+2，$\frac{1}{2}$a+2]，
若a+2≥1，即-1≤a＜0時，則f（ax+2）=f（-ax），
則f（ax+2）≤f（x-1）等價為f（-ax）≤f（x-1），
則函數(shù)則（-∞，1）上為減函數(shù)，
∴-ax≥x-1，
即a≤$\frac{1}{x}$-1，
∵y=$\frac{1}{x}$-1在x∈[$\frac{1}{2}$，1]為減函數(shù)，
∴函數(shù)的最小值為y=1-1=0，
此時a≤0，此時-1≤a＜0，
若$\frac{1}{2}$a+2＜1，即a＜-2時，
則f（ax+2）≤f（x-1）等價為ax+2≥x-1，
即ax≥x-3，
則a≥$\frac{x-3}{x}=1-\frac{3}{x}$成立，
∵y=1-$\frac{3}{x}$在x∈[$\frac{1}{2}$，1]遞增，
∴當(dāng)x=1時，函數(shù)取得最大值為y=1-3=-2，
∴a≥-2．此時a無解，
綜上-2≤a≤0
故答案為：[-2，0]

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)對稱性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．