Question

1．滿足$\left\{\begin{array}{l}{3x-y+2≥0}\\{3x+2y-4≤0}\\{y+1≥0}\end{array}\right.$，則z=x²+y²-4x-2y的取值范圍是-$\frac{29}{13}$≤z≤8．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：z=x²+y²+-4x-2y=（x-2）²+（y-1）²-5，
設(shè)m=（x-2）²+（y-1）²，則m的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)Q（2，1）的距離的平方，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，

則點(diǎn)Q到直線3x+2y-4=0的距離最小，此時(shí)d=$\frac{|6+4-4|}{\sqrt{9+4}}$=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$，
AQ的距離最大，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-1}\\{3x-y+2=0}\end{array}\right.$得A（-1，-1），
則AQ=$\sqrt{（2+1）^{2}+（1+1）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
則$\frac{36}{13}$≤m≤13，
即$\frac{36}{13}$-5≤z≤13-5，即-$\frac{29}{13}$≤z≤8
故答案為：-$\frac{29}{13}$≤z≤8．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)零點(diǎn)間的距離公式，結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．