已知|
a
|=4，|
b
|=3，（2
a
-3
b
）•（2
a
+
b
）=61．
（1）求
a
與
b
的夾角為θ；
（2）求|
a
+
b
|；
（3）若
AB
=
a
，
AC
=
b
，作三角形ABC，求△ABC的面積．
分析：（1）由，（2
a
-3
b
）•（2
a
+
b
）=61，可求得
a
•
b
=-6，利用向量夾角公式可得θ；
（2）可先平方轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積．
（3）由（1）知∠BAC=θ=120°，利用三角形面積公式可得答案；
解答：解：（1）由（2
a
-3
b
）•（2
a
+
b
）=61，得4|
a
|2-4
a
•
b
-3|
b
|2=61，
∵|
a
|=4，|
b
|=3，代入上式求得
a
•
b
=-6．
∴cos θ=
a
•
b
|
a
||
b
|
=
-6
4×3
=-
1
2
．
又θ∈[0，π]，∴θ=120°．
（2）∵|
a
+
b
|2=（
a
+
b
）2=|
a
|2+2
a
•
b
+|
b
|2
=42+2×（-6）+32=13，∴|
a
+
b
|=
13
．
（3）由（1）知∠BAC=θ=120°，
|
AB
|=|
a
|=4，|
AC
|=|
b
|=3，
∴S△ABC=
1
2
|
AC
||
AB
|sin∠BAC
=
1
2
×3×4×sin 120°=3
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的模、用數(shù)量積求向量夾角、三角形面積公式等知識(shí)，屬中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知|
a
|=4，|
b
|=
3
，
a
•
b
=6，求
（1）(
a
-
b
)•
b
；
（2）求|
a
+
b
|．
（提示：|
a
|2=
a
•
a
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a=4，b=2，且焦點(diǎn)在x軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

△ABC中，已知a=4，∠B=45°，若解此三角形時(shí)有且只有唯一解，則b的值應(yīng)滿足
b＞4或b=2
2
b＞4或b=2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知|
a
|=4，|
b
|=3，(2
a
-3
b
)•(2
a
+
b
)=61，
求（1）
a
與
b
的夾角
（2）|
a
+
b
|的值．

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