Question

5．在等差數(shù)列{a_n}中，前n項和為S_n，a₆=12，S₄=20．
（1）求S_n；
（2）是否存在等比數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₉．若存在，求出數(shù)列{b_n}的通項公式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，由已知列方程組求得首項和公差，則等差數(shù)列的前n項和可求；
（2）求出等差數(shù)列的通項公式，結(jié)合b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₉求出等比數(shù)列的前3項，說明存在等比數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₉．并求得等比數(shù)列的通項公式．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，
由a₆=12，S₄=20，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+5d=12}\\{4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}d=20}\end{array}\right.$，解得：a₁=d=2．
∴${S}_{n}=2n+\frac{2n（n-1）}{2}={n}^{2}+n$；
（2）由（1）知，a_n=2+2（n-1）=2n，
b₁=a₁=2，b₂=a₃=6，b₃=a₉=18，
∴存在等比數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₉．
此時b₁=2，q=3，
∴$_{n}=2•{3}^{n-1}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差數(shù)列的前n項和，訓(xùn)練了等比數(shù)列通項公式的求法，是中檔題．