Question

14．已知將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）個(gè)單位，再將所得函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，橫坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)y=f（x）的圖象過點(diǎn)（$\frac{π}{4}$，2）
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）若tanα=$\frac{1}{2}$，求f（2α+$\frac{5π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)函數(shù)的圖象變換求出f（x）=2sin（x+φ），由圖象過點(diǎn)（$\frac{π}{4}$，2）并結(jié)合范圍0＜φ＜$\frac{π}{2}$可得φ，即可得解函數(shù)y=f（x）的解析式．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的余弦函數(shù)公式即可化簡(jiǎn)求值．

解答 解：（1）將函數(shù)y=sinx的圖象上所有點(diǎn)向左平移φ個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=sin（x+φ），
再將所得函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，橫坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)y=f（x）=2sin（x+φ）的圖象，又它過點(diǎn)（$\frac{π}{4}$，2）
可得：2=2sin（$\frac{π}{4}$+φ），解得：$\frac{π}{4}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得：φ=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
因?yàn)椋?＜φ＜$\frac{π}{2}$，
所以可得：φ=$\frac{π}{4}$，
故函數(shù)y=f（x）的解析式為：f（x）=2sin（x+$\frac{π}{4}$）．
（2）∵tanα=$\frac{1}{2}$，
∴f（2α+$\frac{5π}{4}$）=2sin（2α+$\frac{5π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=2sin（2α+$\frac{3π}{2}$）=-2cos2α=-2×$\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}$=-2×$\frac{1-\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}$=-$\frac{6}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦型函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，屬于中檔題．