已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，焦距為2．
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓右焦點且垂直于x軸的直線交橢圓于P，Q兩點，C，D為橢圓上位于直線PQ異側(cè)的兩個動點，滿足∠CPQ=∠DPQ，求證：直線CD的斜率為定值，并求出此定值．
分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程，利用離心率為
2
2
，焦距為2，求出幾何量，即可得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)直線方程代入橢圓方程，確定x1+x2，x1-x2，即可求得斜率．
解答：解：（Ⅰ）由橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，焦距為2，a2=b2+c2，
得c=1，a=
2
，b2=(
2
)2-1=1
所以，橢圓C的方程為
x2
2
+y2=1；
（Ⅱ）設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），∠CPQ=∠DPQ時，PC，PD的斜率之和為0
設(shè)直線PC的斜率為k，則PD的斜率為-k，
由題意知，直線PQ為x=1，不妨令P（1，
2
2
），Q（1，-
2
2
）
則PC的直線方程為y-
2
2
=k（x-1）代入橢圓方程，
可得（1+2k2）x2+2（
2
-2k）kx+（2k2-2
2
k+1）=0
∴x1+1=
2(2k-
2
)k
1+2k2
，
同理PD的直線方程為y-
2
2
=-k（x-1）代入橢圓方程，可得x2+1=
2(2k+
2
)k
1+2k2

∴x1+x2=
8k2
1+2k2
-2=
4k2-2
1+2k2
，x1-x2=
-4
2
k 
1+2k2

∴kCD=
y1-y2
x1-x2
=
k(x1+x2)-2k
x1-x2
=
(4k2-2)k-2k(1+2k2)
-4
2
k
=
2
2
，
∴直線CD的斜率為定值
2
2
．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標準方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設(shè)點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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