Question

已知a≥

1

2

，f（x）=-a²x²+ax+c．
（1）如果對(duì)任意x∈[0，1]，總有f（x）≤1成立，證明c≤

3

4

；
（2）已知關(guān)于x的二次方程f（x）=0有兩個(gè)不等實(shí)根x₁，x₂，且x₁≥0，x₂≥0，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將原二次函數(shù)配方得f（x）=-a²（x-

1

2a

）²+c+

1

4

，利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求出它在（0，1]最大值，再由題意得[f（x）]_max=c+

1

4

≤1，從而證得：c≤

3

4

．
（2）根據(jù)拋物線開口向下，f（x）=0的兩根在[0，+∞）內(nèi)，得出關(guān)于a，c的不等關(guān)系，解之即可得出實(shí)數(shù)c的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=-a²（x-

1

2a

）²+c+

1

4

，
∵a≥

1

2

，∴

1

2a

∈（0，1]，
∴x∈（0，1]時(shí)，[f（x）]_max=c+

1

4

，-----------------------（2分）
∵f（x）≤1，則[f（x）]_max=c+

1

4

≤1，即c≤

3

4

，
∴對(duì)任意x∈[0，1]，總有f（x）≤1成立時(shí)，可得c≤

3

4

．--------------------------（5分）
（2）∵a≥

1

2

，∴

1

2a

＞0
又拋物線開口向下，f（x）=0的兩根在[0，+∞）內(nèi)，
⇒

△＞0 1 2a ≥0 f(0)≤0

⇒

c＞- 1 4 a＞0 f(0)≤0

⇒

c＞- 1 4 c≤0

⇒-

1

4

＜c≤0
所求實(shí)數(shù)c的取值范圍為-

1

4

＜c≤0．---------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值、二次函數(shù)的性質(zhì)、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．