Question

12．已知x＞0，y＞0，若x+$\frac{1}{x}$+y+$\frac{9}{y}$=10，則x+y的最小值是2．

Answer 1

分析 x+$\frac{1}{x}$+y+$\frac{9}{y}$=10，x＞0，y＞0，可得x+y=10-$\frac{1}{x}$-$\frac{9}{y}$，（x+y）²=10（x+y）-（10+$\frac{y}{x}+\frac{9x}{y}$），變形為10+$\frac{y}{x}+\frac{9x}{y}$=-（x+y）²+10（x+y），再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵x+$\frac{1}{x}$+y+$\frac{9}{y}$=10，x＞0，y＞0，∴x+y=10-$\frac{1}{x}$-$\frac{9}{y}$，
∴（x+y）²=10（x+y）-（10+$\frac{y}{x}+\frac{9x}{y}$）
∴10+$\frac{y}{x}+\frac{9x}{y}$=-（x+y）²+10（x+y）≥10+$2\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{9x}{y}}$=16，當(dāng)且僅當(dāng)y=3x時取等號．
∴（x+y）²-10（x+y）+16≤0，
化為（x+y-2）（x+y-8）≤0，
解得2≤x+y≤8，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{3}{2}$時，x+y取得最小值2．
故答案為：2．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、一元二次不等式的解法，考查了變形能力與計算能力，屬于中檔題．