Question

11．已知函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）與g（x）=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}$a），其中f（x）是偶函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)k的值及f（x）的值域；
（2）求函數(shù)g（x）的定義域；
（3）若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)偶函數(shù)的定義建立方程關(guān)系即可求k的值，化簡函數(shù)，即可求出f（x）的值域；
（2）當(dāng)a•2^x-$\frac{4}{3}$a＞0時(shí)，函數(shù)解析式有意義，分類討論，即可求函數(shù)g（x）的定義域；
（3）根據(jù)函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）是偶函數(shù)可知f（x）=f（-x），
∴l(xiāng)og₄（4^x+1）+kx=log₄（4^-x+1）-kx，
∴l(xiāng)og₄$\frac{{4}^{x}+1}{{4}^{-x}+1}$=-2kx，即x=-2kx對一切x∈R恒成立，
∴k=-$\frac{1}{2}$．
f（x）=log₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x=log₄（2^-x+1）≥log₄1=0
∴f（x）的值域是[0，+∞）--------------------------------------------------------------（4分）
（2）當(dāng)a•2^x-$\frac{4}{3}$a＞0時(shí)，函數(shù)解析式有意義
當(dāng)a＞0時(shí)，2^x＞$\frac{4}{3}$，得x＞log₂$\frac{4}{3}$；
當(dāng)a＜0時(shí)，2^x＜$\frac{4}{3}$，得x＜log₂$\frac{4}{3}$．----------------------------------------（5分）
綜上，當(dāng)a＞0時(shí)，定義域?yàn)閧x|x＞log₂$\frac{4}{3}$}；
當(dāng)a＜0時(shí)，定義域?yàn)閧x|x＜log₂$\frac{4}{3}$}；---------------------------------（6分）
（3）函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
即方程log₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}$a）有且只有一個(gè)實(shí)根，
即方程2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$=a•2^x-$\frac{4}{3}$a，有且只有一個(gè)實(shí)根，------------------------------------（7分）
令t=2^x＞0，則方程（a-1）t²-$\frac{4}{3}$a-1=0有且只有一個(gè)正根，
①當(dāng)a=1時(shí)，t=-$\frac{3}{4}$，不合題意；
②當(dāng)a≠1時(shí)，由△=0得a=$\frac{3}{4}$或-3，
若a=$\frac{3}{4}$，則t=-2不合題意；
若a=-3，則t=$\frac{1}{2}$滿足要求；----------------------------------------（8分）
若△＞0，則此時(shí)方程應(yīng)有一個(gè)正根與一個(gè)負(fù)根，
∴$\frac{-1}{a-1}$＜0，∴a＞1，又△＞0得a＜-3或a＞$\frac{3}{4}$，∴a＞1．-----------------------（9分）
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{-3}∪（1，+∞）．----------------------------------------（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及對數(shù)的基本運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)．