10．如圖，正四棱錐P-ABCD的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為$\sqrt{10}$，點(diǎn)O為底面ABCD的中心．
（1）求證：PA⊥BD；
（2）若E為PC中點(diǎn)，求BE的長(zhǎng)．

分析 （1）利用正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)可得AC⊥BD，PO⊥BD，再利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理即可得出．
（2）在△PBC中，利用中線長(zhǎng)定理即可得出．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OB=OD，
∵PB=PD，OB=OD，∴PO⊥BD，
又BD∩PO=O，∴BD⊥平面PAC，PA?平面PAC，
∴PA⊥BD．
（2）解：設(shè)BE=m，在△PBC中，
由中線長(zhǎng)定理，$（\sqrt{10}）^{2}$+22=2m2+2×$（\frac{\sqrt{10}}{2}）^{2}$，解得m=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、中線長(zhǎng)定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

10．已知矩陣$A=[{\begin{array}{l}a&1\\ 1&a\end{array}}]$（a為實(shí)數(shù)）．
（1）若矩陣A存在逆矩陣，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若直線l：x-y+4=0在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本�l'：x-y+2a=0，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）在（2）的條件下，求A5．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

1．設(shè)a，b∈R，若矩陣A=$（\begin{array}{l}{1}&{a}\\&{0}\end{array}）$的變換把直線l：x+y-1=0變換為另一直線l′：x+2y+l=0．
（1）求a，b的值．
（2）求矩陣A的特征值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

18．已知橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)T（-2，$\sqrt{3}$）在橢圓Γ上，且|TF1|+|TF2|=8．
（1）求橢圓的方程；
（2）點(diǎn)P，Q在橢圓Γ上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線OP，OQ的斜率之積為$\frac{1}{4}$，求證：|OP|2+|OQ|2為定值；
（3）直線l過(guò)點(diǎn)（-1，0）且與橢圓Γ交于A，B兩點(diǎn)，問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M坐標(biāo)以及此常數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

5．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，BC=$\sqrt{3}$，點(diǎn)M在棱CC1上，且MD1⊥MA，則當(dāng)△MAD1的面積最小時(shí)，棱CC1的長(zhǎng)為（　�。�
A．$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$B．$\frac{\sqrt{10}}{2}$C．2D．$\sqrt{2}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

15．已知直線ax-y-1=0與圓x2+y2+2x+2by-4=0相交于A、B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)為（1，1），則a、b的值分別為（　　）
A．-1，1B．-1，-1C．2，-2D．2，2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

2．已知函數(shù)f（x）=lnx+1．
（Ⅰ）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）≤x；
（Ⅱ）設(shè)$g（x）=ax+（{a-1}）•\frac{1}{x}-lnx-1$，若g（x）≥0對(duì)x＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{a{x}^{2}+bx+c}$．其中a，b，c∈R．
（1）若a=1，b=1，c=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若b=c=1，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥1總成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若a＞0，b=0，c=1，若f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，求證：e$\sqrt{\frac{1}{a}}$＜f（x1）+f（x2）＜$\frac{{e}^{2}+1}{2}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

20．設(shè)f（x）是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f（x）滿足：“當(dāng)f（k）≥k2成立時(shí)，總可推出f（k+1）≥（k+1）2成立”．那么，下列四個(gè)命題中，正確的是②③④．（填寫命題序號(hào)）
①若f（2）＜4成立，則f（10）＜100；②若f（3）＞9成立，則當(dāng)k≥4時(shí)，均有f（k）＞k2成立；③若f（4）≥25成立，則當(dāng)k≥4時(shí)，均有f（k）≥k2成立；④若f（5）＜25成立，則f（1）≤1．

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