Question

18．已知橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)T（-2，$\sqrt{3}$）在橢圓Γ上，且|TF₁|+|TF₂|=8．
（1）求橢圓的方程；
（2）點(diǎn)P，Q在橢圓Γ上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線OP，OQ的斜率之積為$\frac{1}{4}$，求證：|OP|²+|OQ|²為定值；
（3）直線l過點(diǎn)（-1，0）且與橢圓Γ交于A，B兩點(diǎn)，問在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M坐標(biāo)以及此常數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)T（-2，$\sqrt{3}$）在橢圓Γ上，且|TF₁|+|TF₂|=8，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓的方程．
（2）設(shè)直線OP：y=kx，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=16}\end{array}\right.$，求出|OP|²，同理求出|OQ|²，由此能證明|OP|²+|OQ|²為定值．
（3）當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l：y=k（x+1），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8k²x+（4k²-16）=0，推導(dǎo)出$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=$\frac{1785}{64}$，當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，l：x=-1，A（-1，$\frac{\sqrt{15}}{2}$），B（-1，-$\frac{\sqrt{15}}{2}$），從而$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=$\frac{1785}{64}$，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，
點(diǎn)T（-2，$\sqrt{3}$）在橢圓Γ上，且|TF₁|+|TF₂|=8，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=8}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{3}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a=4，b=2，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
證明：（2）設(shè)直線OP：y=kx，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=16}\end{array}\right.$，得x=$±\frac{4}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
∴|OP|²=${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{16+16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
又直線OQ：$y=\frac{1}{4k}x$，
 同理，得|OQ|²=$\frac{16+16（\frac{1}{4k}）^{2}}{1+4（\frac{1}{4k}）^{2}}$=$\frac{4+64{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
∴|OP|²+|OQ|²=$\frac{16+16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}+\frac{4+64{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{20+80{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=20，為定值．
解：（3）當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l：y=k（x+1），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（t，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8k²x+（4k²-16）=0，
又$\overrightarrow{MA}$=（x₁-t，y₁），$\overrightarrow{MB}$=（x₂-t，y₂），
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（x₁-t）（x₂-t）+y₁y₂=（x₁-t）（x₂-t）+k（x₁+1）•k（x₂+1）
=（1+k²）x₁x₂+（k²-t）（x₁+x₂）+（k²+t²）=$\frac{（{t}^{2}-16）+（4{t}^{2}+8t-11）{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
令$\frac{{t}^{2}-16}{1}=\frac{4{t}^{2}+8t-11}{4}$，得t=-$\frac{53}{8}$，此時(shí)$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=$\frac{1785}{64}$，
當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，l：x=-1，A（-1，$\frac{\sqrt{15}}{2}$），B（-1，-$\frac{\sqrt{15}}{2}$），
又M（-$\frac{53}{8}$，0），∴$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=$\frac{1785}{64}$，
綜上，M（-$\frac{53}{8}$，0），$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=$\frac{1785}{64}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查代數(shù)式為定值的證明，考查滿足向量的數(shù)量積為定值的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．