Question

6．若a＞b＞0，則a²+$\frac{1}{b（a-b）}$的最小值為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由基本不等式可得b（a-b）≤$\frac{{a}^{2}}{4}$，再次利用基本不等式可得a²+$\frac{1}{b（a-b）}$≥a²+$\frac{4}{{a}^{2}}$≥2$\sqrt{{a}^{2}•\frac{4}{{a}^{2}}}$=4，注意兩次等號同時取到即可．

解答 解：∵a＞b＞0，∴a-b＞0，
∴b（a-b）≤$（\frac{b+a-b}{2}）^{2}$=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
∴a²+$\frac{1}{b（a-b）}$≥a²+$\frac{4}{{a}^{2}}$≥2$\sqrt{{a}^{2}•\frac{4}{{a}^{2}}}$=4，
當且僅當b=a-b且a²=$\frac{4}{{a}^{2}}$即a=$\sqrt{2}$且b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時取等號，
∴則a²+$\frac{1}{b（a-b）}$的最小值為4，
故選：C．

點評 本題考查基本不等式求最值，注意兩次等號成立的條件是解決問題的關鍵，屬基礎題．