Question

1．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，x∈[-2，2]表示過(guò)原點(diǎn)的曲線(xiàn)，且在x=±1處的切線(xiàn)的傾斜角均為$\frac{3}{4}π$，有以下命題：
①f（x）的解析式為f（x）=x³-4x，x∈[-2，2]．
②f（x）的極值點(diǎn)有且只有一個(gè)．
③f（x）的最大值與最小值之和等于零．
其中正確命題的序號(hào)為①③．

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a，b，c的方程組，解出a，b，c的值，從而求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)f（x）的最小值和最大值即可得到答案．

解答 解：f′（x）=3x²+2ax+b，
由題意得f（0）=0，f′（-1）=f′（1）=tan $\frac{3π}{4}$=-1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{3-2a+b=-1}\\{3+2a+b=-1}\end{array}\right.$，∴a=0，b=-4，c=0．
∴f（x）=x³-4x，x∈．故①正確．
由f′（x）=3x²-4=0得x₁=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，x₂=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
根據(jù)x₁，x₂分析f′（x）的符號(hào)、f（x）的單調(diào)性和極值點(diǎn)．

x	-2	（-2，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）	-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2）	2
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	0	↗	$\frac{16\sqrt{3}}{9}$	↘	$\frac{-16\sqrt{3}}{9}$	↗	0

∴x=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$是極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn)．x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$是極小值點(diǎn)也是最小值點(diǎn)．
f（x）_min+f（x）_max=0．
∴②錯(cuò)，③正確；
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及切線(xiàn)問(wèn)題，是一道中檔題．