Question

6．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+1（a∈R），試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 求出f（x）的導函數(shù)，分解因式后，根據(jù)a＞0，a=0和a＜0，分別討論導函數(shù)的正負即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：∵f（x）=x³+ax²+1，a∈R
∴f′（x）=3x²+2ax=x（3x+2a），
①當a＞0時，由f′（x）＞0，得x＞0，或x＜-$\frac{2a}{3}$，
由f′（x）＜0，得-$\frac{2a}{3}$＜x＜0，
∴f（x）=x³+ax²的增區(qū)間為（-∞，-$\frac{2a}{3}$），（0，+∞），減區(qū)間為（-$\frac{2a}{3}$，0）．
②當a=0時，由f′（x）=3x²≥0恒成立，∴函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）單調(diào)遞增．
③當a＜0時，由f′（x）＞0，得x＞-$\frac{2a}{3}$，或x＜0，
由f′（x）＜0，得0＜x＜-$\frac{2a}{3}$，
∴f（x）=x³+ax²的增區(qū)間為（-∞，0），（-$\frac{2a}{3}$，+∞），減區(qū)間為（0，$\frac{2a}{3}$）．

點評 此題考查學生會根據(jù)導函數(shù)的正負判斷得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論思想的合理運用．