Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為

4

5

，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓上有一點(diǎn)P，∠F₁PF₂=

π

3

，且△PF₁F₂的面積為3

3

，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：根據(jù)點(diǎn)P是橢圓的左支上的一點(diǎn)，及雙曲線(xiàn)的定義可知|PF₂|+|PF₁|=2a，由，∠F₁PF₂=

π

3

，且△PF₁F₂的面積為3

3

，可以求得|PF₂|•|PF₁|的值，根據(jù)余弦定理可以求得a，c的一個(gè)方程，雙曲線(xiàn)的離心率為2，根據(jù)雙曲線(xiàn)的離心率的定義式，可以求得a，c的一個(gè)方程，解方程組即可求得該橢圓的方程．

解答：解：設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁（-c，0）、F₂（c，0）．
因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以|PF₁|+|PF₂|=2a．…（2分）
在△PF₁F₂中，由余弦定理，得
|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos

π

3

=（|PF₁|+|PF₂|）²-3|PF₁|•|PF₂|，
即4c²=4a²-3|PF₁|•|PF₂|．…（6分）
又因S_△PF1F2=3

3

，所以

1

2

|PF₁|•|PF₂|sin

π

3

=3

3

，得|PF₁|•|PF₂|=12．
所以4c²=4a²-36，又e=

c

a

=

4

5

，
故a²=25，c²=16，b²=9，
∴所求橢圓的方程為

x2

25

+

y2

9

=1．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．考查橢圓的定義和待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，及利用余弦定理解圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)三角形，解題過(guò)程注意整體代換的方法，簡(jiǎn)化計(jì)算．