Question

若f（x）=x³+3x，g（x）=x²-1，（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若f（x）+mg（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先由f（x）=x³+3x，求導(dǎo)，再由f′（x）=3x²+3≥0，求得增區(qū)間．
（2）先構(gòu)造出h（x）=f（x）+mg（x）=x³+mx²+3x-m，再求導(dǎo)h′（x）=3x²+2mx+3，再由“f（x）+mg（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增”，轉(zhuǎn)化為h′（x）=3x²+2mx+3≥0在（1，+∞）上恒成立，進而轉(zhuǎn)化為m≥-

3

2

(x+

1

x

)在（1，+∞）上恒成立求解．

解答：解：（1）∵f（x）=x³+3x，
∴f′（x）=3x²+3
∴f′（x）=3x²+3≥0
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，+∞）
（2）h（x）=f（x）+mg（x）=x³+mx²+3x-m
∴h′（x）=3x²+2mx+3
∵f（x）+mg（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增
∴h′（x）=3x²+2mx+3≥0在（1，+∞）上恒成立
∴m≥-

3

2

(x+

1

x

)在（1，+∞）上恒成立
∵-

3

2

(x+

1

x

)≤-3
∴m≥-3

點評：本題主要考查用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，基本思路是：當(dāng)函數(shù)為增函數(shù)時，導(dǎo)數(shù)大于等于零；當(dāng)函數(shù)為減函數(shù)時，導(dǎo)數(shù)小于等于零，已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍，往往轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)的最值問題．