已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1，(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，點P（2，1）是橢圓上一定點，若斜率為
1
2
的直線與橢圓交于不同的兩點A、B．
（ I）求橢圓方程；
（ II）求△PAB面積的最大值．
分析：（ I）由e=
c
a
=
3
2
，知c=
3
2
a，b=
1
2
a，由此能求出橢圓方程．
（ II）設(shè)直線AB的方程為：y=
1
2
x+m，與橢圓聯(lián)列方程組得，
y=
1
2
x+m
x2
8
+
y2
2
=1
，代入得：2x2+4mx+4m2-8=0，再由根的判別式和韋達定理能求出S△PAB的最大值．
解答：解：（ I）∵e=
c
a
=
3
2
，
∴c=
3
2
a，b=
1
2
a，
又P（2，1）在橢圓上，代入橢圓方程，
得：
4
a2
+
1
b2
=1，
∴a2=8，b2=2，
橢圓方程為：
x2
8
+
y2
2
=1…（6分）
（ II）設(shè)直線AB的方程為：y=
1
2
x+m，
與橢圓聯(lián)列方程組得，
y=
1
2
x+m
x2
8
+
y2
2
=1
，
代入得：2x2+4mx+4m2-8=0，…（8分）
∵△=16m2-8（4m2-8）＞0，
解得，-2＜m＜2
由韋達定理得：x1+x2=-2m，
x1x2=2m2-4|AB|=
1+
1
4
•
4m2-4(2m2-4)
=
5
2
•
16-4m2
=
5
•
4-m2

P到直線AB的距離：d=
|2m|
5
，…（12分）
S△PAB=
1
2
•
5
•
4-m2
•
|2m|
5
=
(4-m2)m2
≤2
當4-m2=m2，
即m=±
2
時，
S△PAB有最大值2     …（15分）
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標準方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設(shè)點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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同步練習(xí)冊答案