已知函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x），當-1＜x≤0時，f（x）=e-x；當0＜x≤1時，f（x）=4x2-4x+1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若g（x）=f（x）-kx（k＞0），求函數(shù)g（x）在x∈[0，5]時的零點個數(shù)．
【答案】分析：（1）根據(jù)已知可分析出函數(shù)是以2為最小正周期的周期函數(shù)，畫出一個周期內(nèi)函數(shù)的圖象，平移可得到函數(shù)在R上的圖象，利用圖象法，可分析出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由函數(shù)的圖象可得函數(shù)g（x）在x∈[0，5]時的零點個數(shù)即為f（x）=kx根的個數(shù)，即函數(shù)f（x）圖象與y=kx圖象交點的個數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象對k值進行分類討論后，可得答案．
解答：解：（1）由題可知
由f（x+1）=-f（x）可知f（x+2）=f（x），
即函數(shù)f（x）是以2為最小正周期的周期函數(shù)
故函數(shù)的圖象如右圖所示：
由圖可知，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為，
遞增區(qū)間為…（6分）
（2）由函數(shù)的圖象可得函數(shù)g（x）在x∈[0，5]時的零點個數(shù)
即為f（x）=kx根的個數(shù)，即函數(shù)f（x）圖象與y=kx圖象交點的個數(shù)
則當k≥e時，函數(shù)f（x）圖象與y=kx圖象在x∈[0，5]時有一個交點，故g（x）在x∈[0，5]時有一個零點；
則當1＜k＜e時，函數(shù)f（x）圖象與y=kx圖象在x∈[0，5]時有兩個交點，故g（x）在x∈[0，5]時有兩個零點；
則當≤k≤1時，函數(shù)f（x）圖象與y=kx圖象在x∈[0，5]時有三個交點，故g（x）在x∈[0，5]時有三個零點；
則當＜k＜時，函數(shù)f（x）圖象與y=kx圖象在x∈[0，5]時有四個交點，故g（x）在x∈[0，5]時有四個零點；
則當＜k≤時，函數(shù)f（x）圖象與y=kx圖象在x∈[0，5]時有五個交點，故g（x）在x∈[0，5]時有五個零點；
則當0＜k≤時，函數(shù)f（x）圖象與y=kx圖象在x∈[0，5]時有六個交點，故g（x）在x∈[0，5]時有六個零點；
點評：本題考查的知識點是函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的周期性，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的零點，是函數(shù)問題的綜合應(yīng)用，特別是（2）中分類比較多，難度較大．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）f（y），（x，y∈R）且f(1)=
1
2
．
（1）若n∈N*時，求f（n）的表達式；
（2）設(shè)bn=
nf(n+1)
f(n)
  (n∈N*)，sn=b1+b2+…+bn，求
1
s1
+
1
s2
+…+
1
sn
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x） 滿足f（x+4）=x3+2，則f-1（1）等于（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）滿足f（x）+f'（0）-e-x=-1，函數(shù)g（x）=-λlnf（x）+sinx是區(qū)間[-1，1]上的減函數(shù)．
（1）當x≥0時，曲線y=f（x）在點M（t，f（t））的切線與x軸、y軸圍成的三角形面積為S（t），求S（t）的最大值；
（2）若g（x）＜t2+λt+1在x∈[-1，1]時恒成立，求t的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=-lnf（x）-ln（x+m），常數(shù)m∈Z，且m＞1，試判定函數(shù)h（x）在區(qū)間[e-m-m，e2m-m]內(nèi)的零點個數(shù)，并作出證明．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）滿足：f（p+q）=f（p）f（q），f（1）=3，則
f2(1)+f(2)
f(1)
+
f2(2)+f(4)
f(3)
+
f2(3)+f(6)
f(5)
+
f2(4)+f(8)
f(7)
=
24．
24．
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•珠海二模）已知函數(shù)f（x）滿足：當x≥1時，f（x）=f（x-1）；當x＜1時，f（x）=2x，則f（log27）=（　　）

查看答案和解析>>

同步練習冊答案