如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，是橢圓上不同的三點(diǎn)，，，在第三象限，線段的中點(diǎn)在直線上．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上（異于點(diǎn)，，）且直線PB，PC分別交直線OA于，兩點(diǎn)，證明為定值并求出該定值．

(1)；(2)；(3)．

解析試題分析：(1)已知橢圓過(guò)兩點(diǎn)，可把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入方程列出關(guān)于的方程組，然后把分別作為整體，方程組就變?yōu)槎淮畏匠探M，從而可很快解得；(2)關(guān)鍵是線段的中點(diǎn)在直線上，可設(shè)，由線段中點(diǎn)為，而直線的方程可求得，代入可得的一個(gè)方程，點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程又得另一方程，聯(lián)立可解得點(diǎn)坐標(biāo)；(3)這類(lèi)問(wèn)題我們采取設(shè)而不求的方法，設(shè)，在直線上，則，同理，
，下面我們想辦法把用表示出來(lái)，這可由共線，共線得到，這里要考查同學(xué)計(jì)算能力，只要計(jì)算正確，就能得出正確結(jié)論．
試題解析：（1）由已知，得解得       2分
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．       3分
（2）設(shè)點(diǎn)，則中點(diǎn)為．
由已知，求得直線的方程為，從而．①
又∵點(diǎn)在橢圓上，∴．②
由①②，解得（舍），，從而．       5分
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．       6分
（3）設(shè)，，．
∵三點(diǎn)共線，∴，整理，得．       8分
∵三點(diǎn)共線，∴，整理，得．       10分
∵點(diǎn)在橢圓上，∴，．
從而．       14分
所以．       15分
∴為定值，定值為．       16分
考點(diǎn)：(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)中點(diǎn)問(wèn)題；(3)定值問(wèn)題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到的距離等于焦距.
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，是否存在直線，使得△與△的面積比值為？若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

我們將不與拋物線對(duì)稱(chēng)軸平行或重合且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線稱(chēng)為拋物線的切線，這個(gè)公共點(diǎn)稱(chēng)為切點(diǎn)．解決下列問(wèn)題：
已知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于4，直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)、，且（為定值）．設(shè)線段的中點(diǎn)為，與直線平行的拋物線的切點(diǎn)為．.

（1）求出拋物線方程，并寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程；
（2）用、表示出點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明垂直于軸；
（3）求的面積，證明的面積與、無(wú)關(guān)，只與有關(guān).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開(kāi)口向右，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的弦長(zhǎng)為2，過(guò)C上一點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線交拋物線于P,Q兩點(diǎn).

（1）若直線PQ過(guò)定點(diǎn)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）對(duì)于第（1）問(wèn)的點(diǎn)A，三角形APQ能否為等腰直角三角形？若能，試確定三角形APD的個(gè)數(shù)；若不能，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

巳知橢圓的離心率是.
⑴若點(diǎn)P(2,1)在橢圓上，求橢圓的方程；
⑵若存在過(guò)點(diǎn)A(1,0)的直線，使點(diǎn)C(2,0)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在橢圓上，求橢圓的焦距的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切。
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且，試判斷的面積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖所示，已知、、是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，過(guò)橢圓中心，且，．

（1）求橢圓的方程；
（2）在橢圓上是否存點(diǎn)，使得？若存在，有幾個(gè)（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)），若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）過(guò)橢圓上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，作圓的兩條線，切點(diǎn)分別為、，，若直線 在軸、軸上的截距分別為、，證明：為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

雙曲線的中心在原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，漸近線方程為 .
（1）求雙曲線的方程；
（2）設(shè)直線：與雙曲線交于、兩點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)為何值時(shí)，以 為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓＋y2＝1的左頂點(diǎn)為A，過(guò)A作兩條互相垂直的弦AM、AN交橢圓于M、N兩點(diǎn)．
(1)當(dāng)直線AM的斜率為1時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)直線AM的斜率變化時(shí)，直線MN是否過(guò)x軸上的一定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)給出證明，并求出該定點(diǎn)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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