Question

已知A＝{(x，y)|x＝n，y＝an＋b，n∈Z}，B＝{(x，y)|x＝m，y＝3m²＋15，m∈Z}，C＝{(x，y)|x²＋y²≤144}，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a、b使得(1)A∩B≠；(2)(a，b)∈C同時(shí)成立？

Answer 1

答案：
解析：

解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)a、b使得A∩B≠，則集合A＝{(x，y)|x＝n，y＝an＋b，n∈Z}與B＝{(x，y)|x＝m，y＝3m2＋15，m∈Z}分別對(duì)應(yīng)集合A1＝{(x，y)|y＝ax＋b，x∈Z}與B1＝{(x，y)|y＝3x2＋15，x∈Z}，A1與B1對(duì)應(yīng)的直線y＝ax＋b與拋物線y＝3x2＋15至少要有公共點(diǎn)， 　　∴方程組有解，即方程3x2＋15＝ax＋b必有解． 　　因此Δ＝a2－12(15－b)≥0， 　　即－a2≤12b－180．① 　　又∵a2＋b2≤144，② 　�、佗谙嗉拥胋2≤12b－36，即(b－6)2≤0，∴b＝6． 　　將b＝6代入①得a2≥108，再將b＝6代入②得a2≤108， 　　因此a＝±6，再將a＝±6，b＝6代入方程3x2＋15＝ax＋b，得3x2±6x＋9＝0，解得x＝±Z，這與x∈Z相矛盾． 　　∴不存在實(shí)數(shù)a、b，使(1)(2)同時(shí)成立． 　　思路分析：假設(shè)存在a、b使得(1)成立，得到a與b的關(guān)系后與a2＋b2≤144聯(lián)立，然后討論聯(lián)立的不等式組．