Question

已知a為實(shí)數(shù)，數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=a，當(dāng)n≥2時(shí)，，
（Ⅰ）當(dāng)a=100，時(shí)，求數(shù)列{a_n}的前100項(xiàng)的和S₁₀₀；
（Ⅱ）證明：對(duì)于數(shù)列{a_n}，一定存在k∈N^*，使0＜a_k≤3；
（Ⅲ）令，當(dāng)2＜a＜3時(shí)，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當(dāng)a=100時(shí)，由題意知數(shù)列{a_n}的前34項(xiàng)成首項(xiàng)為100，公差為-3的等差數(shù)列，從第35項(xiàng)開(kāi)始，奇數(shù)項(xiàng)均為3，偶數(shù)項(xiàng)均為1，由此能求出S₁₀₀．
（Ⅱ）當(dāng)0＜a₁≤3時(shí)，題意成立．當(dāng)a₁＞3時(shí)，a_n=a₁-3（n-1）．設(shè)a₁∈（3k，3k+3]，（k≥1，k∈N^*），則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=a₁-3k∈（0，3]．命題成立．當(dāng)a₁≤0時(shí)，a₂=4-a₁＞3，命題成立．由此能夠證明原命題成立．
（Ⅲ）當(dāng)2＜a＜3時(shí)，由，知=．因?yàn)閎_n＞0，所以只要證明當(dāng)n≥3時(shí)不等式成立即可．由此能夠證明＜．
解答：解：（Ⅰ）a=100時(shí)，
∵a₁=100，當(dāng)n≥2時(shí)，，
∵a₁=100，a₂=97，…，a₃₃=4，a₃₄=1，a₃₅=3，a₃₆=1，a₃₇=3，…，a₁₀₀=1，
∴a=100時(shí)，
數(shù)列{a_n}的前34項(xiàng)成首項(xiàng)為100，公差為-3的等差數(shù)列，
從第35項(xiàng)開(kāi)始，奇數(shù)項(xiàng)均為3，偶數(shù)項(xiàng)均為1，
從而S₁₀₀=…（3分）
=．…（5分）
（Ⅱ）證明：①若0＜a₁≤3，則題意成立…（6分）
②若a₁＞3，此時(shí)數(shù)列{a_n}的前若干項(xiàng)滿(mǎn)足a_n-a_n-1=3，
即a_n=a₁-3（n-1）．
設(shè)a₁∈（3k，3k+3]，（k≥1，k∈N^*），
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=a₁-3k∈（0，3]．
從而此時(shí)命題成立…（8分）
③若a₁≤0，由題意得a₂=4-a₁＞3，
則由②的結(jié)論知此時(shí)命題也成立．
綜上所述，原命題成立…（10分）
（Ⅲ）當(dāng)2＜a＜3時(shí)，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101225209481789724/SYS201311012252094817897019_DA/8.png">，
所以=．…（11分）
因?yàn)閎_n＞0，
所以只要證明當(dāng)n≥3時(shí)不等式成立即可．
而…（13分）
①當(dāng)n=2k（k∈N^*，且k≥2）時(shí)，

=
=
=．…（15分）
②當(dāng)n=2k-1（k∈N^*且k≥2）時(shí)，
由于b_n＞0，所以＜．
綜上所述，原不等式成立…（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．