Question

3．已知命題p：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$mx³+x²+x在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增；命題q：函數(shù)g（x）=4ln（x+1）+$\frac{1}{2}$x²-（m-1）x的圖象上任意一點處的切線斜率恒大于1，若“p∨（￢q）”為真命題，“（￢p）∨q”也為真命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 由已知可得若p為真命題，則q也為真命題；若p為假命題，則q也為假命題，進而得到答案．

解答 解：若p為真命題，f′（x）=mx²+2x+1≥0在x∈（1，2）上恒成立，m≥-$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=-（$\frac{1}{x}$+1）²+1，
∵-（$\frac{1}{x}$+1）²+1＜-$\frac{5}{4}$，
∴m≥-$\frac{5}{4}$．
若q為真命題，
則當(dāng)x＞-1時，g′（x）=$\frac{4}{x+1}$+x-m+1＞1，即m＜$\frac{4}{x+1}$+x，
∵$\frac{4}{x+1}$+x=$\frac{4}{x+1}$+x+1-1≥2$\sqrt{4}$-1=3，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號，
∴m＜3．
由已知可得若p為真命題，則q也為真命題；
若p為假命題，則q也為假命題，
當(dāng)p，q同真時，-$\frac{5}{4}$≤m＜3，同假時m無解，
故m∈[-$\frac{5}{4}$，3）．

點評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了復(fù)合命題，函數(shù)恒成立問題，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，難度中檔．