Question

13．如圖所示的三棱柱ABE-DCF中，AB=AF，BE=EF=2．
（Ⅰ）證明：AE⊥BF；
（Ⅱ）若∠BEF=60°，AE=$\sqrt{2}$AB=2，求三棱柱ABE-DFC的體積．

Answer 1

分析 （I）連接EC，與BF相交于點O，連接AO．由平行四邊形的性質(zhì)可得點O是BF的中點，利用等腰三角形的性質(zhì)可得OA⊥BF，EO⊥BF，即可證明BF⊥平面AEO，即可得出AE⊥BF．
（II）由∠BEF=60°，BE=EF=2，可得△BEF是等邊三角形，可得AB²+AF²=BF²，∠BAF=90°．可得OA²+OE²=AE²，由（I）可得：BF⊥平面AEO，于是V_A-BEF=$\frac{1}{3}×{S}_{OAE}×BF$．可得三棱柱ABE-DFC的體積=3V_A-BEF．

解答 （I）證明：連接EC，與BF相交于點O，連接AO．
∵四邊形BEFC是平行四邊形，
∴點O是BF的中點，
∵AB=AF，BE=EF=2．
∴OA⊥BF，EO⊥BF，
又OA∩OE=O，
∴BF⊥平面AEO，AE?平面OAE．
∴AE⊥BF．
（II）解：∵∠BEF=60°，BE=EF=2，
∴△BEF是等邊三角形，
∴BF=2，OE=$\sqrt{3}$．
∵AE=$\sqrt{2}$AB=2，∴AB=$\sqrt{2}$=AF，
∴AB²+AF²=BF²，∴∠BAF=90°．
∴OA=OB=OF=1．
∴OA²+OE²=AE²，∴∠AOE=90°．
由（I）可得：BF⊥平面AEO，
∴V_A-BEF=$\frac{1}{3}×{S}_{OAE}×BF$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$×2=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴三棱柱ABE-DFC的體積=3V_A-BEF=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了三棱錐的體積計算公式及其性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、等腰與等邊三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．