Question

已知一直線l過點(diǎn)為P（2，1），且與橢圓

x2

8

+

y2

4

=1相交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若弦AB的中點(diǎn)為P，求直線l的方程；
（Ⅱ）求△AOB面積的最大值及面積最大時(shí)直線l的方程（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

分析：（1）若斜率不存在，若弦AB的中點(diǎn)為P（2，1），與題意不符，不成立．
若斜率存在，設(shè)斜率為k則直線的方程為：y-1=k（x-2），即y=kx+1-2k，與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出；
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，由方程①可求得，弦長(zhǎng)|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得原點(diǎn)到直線l的距離h，利用三角形的面積公式S△AOB=

1

2

|AB|•h和基本不等式即可得出．當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直接求出．

解答：解：（1）若斜率不存在，若弦AB的中點(diǎn)為P（2，1），與題意不符，不成立．
若斜率存在，設(shè)斜率為k則直線的方程為：y-1=k（x-2），即y=kx+1-2k，
代入橢圓方程得：x²-2（kx+1）-2k²=8，
整理得：（1+2k²）x²+4k（1-2k）x+2（1-2k）²-8=0，①
設(shè)A(x1，y2)，B(x2，y2)，則x1+x2=

4k(2k-1)

2k2+1

=4，
解得：k=-1，
即l的方程為：x+y-3=0．
（2）由方程①可求得，弦長(zhǎng)|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

8(1+k2)(4k2+4k+3)

2k2+1

，
原點(diǎn)到直線l的距離為h=

|1-2k|

1+k2

，
∴S△AOB=

2

|1-2k| 4k2+4k+3

2k2+1

≤

2

(1-2k2)+4k2+4k+3

2(2k2+1)

=2

2

；
當(dāng)且僅當(dāng)k=-

1

4

時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線l的方程為x+4y-6=0．
當(dāng)斜率不存在時(shí)，求得S_△AOB=2

2

．
所以三角形面積的最大值為2

2

，此時(shí)直線方程為x+4y-6=0或x=2．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了“中點(diǎn)弦問題”、直線與橢圓相交與三角形面積最大值問題、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．